北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
四．（ 15 分）设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & -2 & 0 \\
b & 1 & -2 \\
c & -2 & 0
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right) .
$$
（1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ．
五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算A的特征多项式
矩阵A的特征多项式为$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a & 2 & 0 \\ -b & \lambda - 1 & 2 \\ -c & 2 & \lambda \end{vmatrix}$。按第一行展开：$=(\lambda - a)[(\lambda - 1)\lambda - 4] - 2[(-b)\lambda - 2(-c)] = (\lambda - a)(\lambda^2 - \lambda - 4) + 2b\lambda - 4c$。展开得$\lambda^3 - (1+a)\lambda^2 + (-4 + a + 2b)\lambda + (4a - 4c)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^3 - (1+a)\lambda^2 + (-4 + a + 2b)\lambda + (4a - 4c)$
提示：展开行列式时注意符号，尤其是第二项前面的负号。
步骤 2/7
目标：利用已知特征值确定特征多项式
已知特征值为$4,1,-2$，则特征多项式为$(\lambda - 4)(\lambda - 1)(\lambda + 2) = (\lambda - 4)(\lambda^2 + \lambda - 2) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 8$。
公式：$(\lambda - 4)(\lambda - 1)(\lambda + 2) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 8$
提示：注意多项式乘法要准确，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：比较系数求解a, b, c
比较特征多项式系数得方程组：$\begin{cases} -(1+a) = -3 \\ -4 + a + 2b = -6 \\ 4a - 4c = 8 \end{cases}$，解得$a=2, b=-2, c=0$。
提示：注意系数对应关系，特别是二次项系数符号。
步骤 4/7
目标：求B的特征值
矩阵$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$的特征多项式为$\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得$(\lambda-4)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & \lambda-2 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，再行变换得$(\lambda-4)(\lambda-1)^2$。所以特征值为$4,1,1$。
公式：$\det(\lambda I - B) = (\lambda-4)(\lambda-1)^2$
提示：行列式计算时注意行变换的合法性，避免错误。
步骤 5/7
目标：利用特征向量条件建立方程
设$\alpha=(1,k,1)^T$是$B^{-1}$的特征向量，则存在特征值$\mu$使得$B^{-1}\alpha = \mu\alpha$，即$\alpha = \mu B\alpha$。计算$B\alpha = (k+3, 2k+2, k+3)^T$，代入得$(1,k,1)^T = \mu (k+3, 2k+2, k+3)^T$。
公式：$\alpha = \mu B\alpha$
提示：注意$B^{-1}$的特征向量也是$B$的特征向量，但特征值互为倒数。
步骤 6/7
目标：解方程求k
由第一分量得$1 = \mu(k+3)$，若$k+3=0$则矛盾，故$\mu = 1/(k+3)$。代入第二分量：$k = \frac{1}{k+3}(2k+2)$，整理得$k^2 + k - 2 = 0$，解得$k = -2$或$k = 1$。
公式：$k = \frac{2k+2}{k+3}$
提示：注意检查$k+3=0$的情况是否成立，避免漏解。
步骤 7/7
目标：证明AB的特征值为实数
由于$A$正定，存在实对称正定矩阵$A^{1/2}$使得$A = A^{1/2}A^{1/2}$。则$AB = A^{1/2}(A^{1/2}B) = A^{1/2}(A^{1/2}BA^{1/2})A^{-1/2}$，即$AB$相似于$A^{1/2}BA^{1/2}$。因为$B$实对称，$A^{1/2}BA^{1/2}$也是实对称矩阵，其特征值均为实数。相似矩阵有相同特征值，故$AB$的特征值都是实数。
公式：$AB \sim A^{1/2}BA^{1/2}$
提示：注意$A^{1/2}$的存在性依赖于$A$正定，且$A^{1/2}BA^{1/2}$的对称性需要验证。
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