北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
5．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{2} x_{3}(\lambda>0)$ 经过正交变换 $X=Q Y$ 化为标准形 $y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，则实参数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2\lambda x_2x_3$ 对应的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \lambda \\ 0 & \lambda & 3 \end{pmatrix}$。注意交叉项 $2\lambda x_2x_3$ 的系数平分到 $a_{23}$ 和 $a_{32}$。
公式：二次型矩阵的构造：$f=x^TAx$，其中 $A$ 对称
提示：注意 $x_2x_3$ 系数为 $2\lambda$，因此 $a_{23}=a_{32}=\lambda$
步骤 2/6
目标：确定标准形对应的矩阵
标准形 $y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$ 对应的矩阵为 $\Lambda=\operatorname{diag}(1,2,5)$。由于是正交变换，$A$ 与 $\Lambda$ 相似，因此特征值相同，即 $A$ 的特征值为 $1,2,5$。
公式：正交变换下，$A$ 与 $\Lambda$ 相似，特征值相同
提示：注意标准形系数即为特征值
步骤 3/6
目标：写出特征多项式
计算 $A$ 的特征多项式 $|\lambda E-A|=0$：
$$\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-3 & -\lambda \\ 0 & -\lambda & \lambda-3 \end{vmatrix}=0$$ 按第一行展开得 $(\lambda-2)[(\lambda-3)^2-\lambda^2]=0$。
公式：特征多项式 $|\lambda E-A|=0$
提示：注意行列式中 $\lambda$ 是特征值参数，不要与题目中的 $\lambda$ 混淆
步骤 4/6
目标：化简特征多项式
展开 $(\lambda-3)^2-\lambda^2 = \lambda^2-6\lambda+9-\lambda^2 = -6\lambda+9$，因此特征多项式为 $(\lambda-2)(-6\lambda+9)=0$，即 $(\lambda-2)(6\lambda-9)=0$。解得 $\lambda=2$ 或 $\lambda=\frac{3}{2}$。注意这里的 $\lambda$ 是题目中的参数，不是特征值。
公式：因式分解
提示：化简时注意符号，$\lambda$ 是参数，不要与特征值混淆
步骤 5/6
目标：验证参数取值
将 $\lambda=2$ 代入特征多项式：$(\lambda-2)[(\lambda-3)^2-4] = (\lambda-2)(\lambda^2-6\lambda+5) = (\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-5)$，特征值为 $1,2,5$，符合标准形。
将 $\lambda=\frac{3}{2}$ 代入：$(\lambda-2)[(\lambda-3)^2-\frac{9}{4}] = (\lambda-2)(\lambda^2-6\lambda+\frac{27}{4})$，解得特征值为 $2,\frac{3}{2},\frac{9}{2}$，与 $1,2,5$ 不符。
公式：代入验证
提示：注意区分参数 $\lambda$ 和特征值符号，代入后计算特征值是否匹配
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，满足条件的实参数 $\lambda=2$。
提示：注意题目条件 $\lambda>0$，两个解都为正，但只有 $\lambda=2$ 符合特征值要求
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。