北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
8．多项式 $f(x)=2 x^{4}-2 x^{3}-9 x^{2}-8 x-3$ 的有理根为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定有理根的可能取值
多项式 $f(x)=2x^4-2x^3-9x^2-8x-3$ 是有理系数多项式，根据有理根定理，其有理根必为 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 是常数项 $-3$ 的因数，$q$ 是首项系数 $2$ 的因数。因此 $p$ 的可能取值为 $\pm1, \pm3$，$q$ 的可能取值为 $\pm1, \pm2$。所有可能的有理根为 $\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$。
公式：有理根定理：若 $\frac{p}{q}$ 是整系数多项式 $a_nx^n+\cdots+a_0$ 的有理根，则 $p|a_0$，$q|a_n$。
提示：注意 $p$ 和 $q$ 要取所有正负因数组合，不要遗漏 $\pm\frac{1}{2}$ 和 $\pm\frac{3}{2}$。
步骤 2/7
目标：检验 $x=1$ 和 $x=-1$
代入 $x=1$：$f(1)=2-2-9-8-3=-20 \neq 0$，故 $x=1$ 不是根。代入 $x=-1$：$f(-1)=2+2-9+8-3=0$，故 $x=-1$ 是一个根。
提示：代入计算时注意符号，特别是偶数次幂负号消失。
步骤 3/7
目标：用综合除法除以 $x+1$
使用综合除法将 $f(x)$ 除以 $x+1$：
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-1 & 2 & -2 & -9 & -8 & -3 \\
& & -2 & 4 & 5 & 3 \\
\hline
& 2 & -4 & -5 & -3 & 0 \\
\end{array}
\]
得到商式 $g(x)=2x^3-4x^2-5x-3$。
公式：综合除法步骤：将根 $c$ 放在左边，系数按降幂排列，逐次乘加。
提示：注意系数顺序，缺项补0，此处无缺项。
步骤 4/7
目标：对 $g(x)$ 检验有理根
对 $g(x)=2x^3-4x^2-5x-3$，可能的有理根仍为 $\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$。代入 $x=1$：$g(1)=2-4-5-3=-10 \neq 0$；代入 $x=-1$：$g(-1)=-2-4+5-3=-4 \neq 0$；代入 $x=3$：$g(3)=54-36-15-3=0$，故 $x=3$ 是一个根。
提示：检验时按顺序，避免遗漏。注意 $g(3)$ 计算要仔细。
步骤 5/7
目标：用综合除法除以 $x-3$
使用综合除法将 $g(x)$ 除以 $x-3$：
\[
\begin{array}{r|rrrr}
3 & 2 & -4 & -5 & -3 \\
& & 6 & 6 & 3 \\
\hline
& 2 & 2 & 1 & 0 \\
\end{array}
\]
得到商式 $h(x)=2x^2+2x+1$。
提示：注意除式为 $x-3$，综合除法中根为 $3$。
步骤 6/7
目标：解二次方程并判断有理根
解二次方程 $2x^2+2x+1=0$，判别式 $\Delta=2^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4<0$，无实根，且有理根只可能是整数或分数，因此无其他有理根。
公式：判别式 $\Delta=b^2-4ac$
提示：判别式小于0说明无实根，更无有理根。
步骤 7/7
目标：总结有理根
多项式 $f(x)$ 的有理根为 $x=-1$ 和 $x=3$。
提示：注意不要遗漏，也不要误将二次方程的复根当作有理根。
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