北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
9．正交变换的特征值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解正交变换的定义
正交变换是保持向量内积不变的线性变换，其对应的矩阵 $A$ 满足 $A^T A = I$，即 $A$ 是正交矩阵。
公式：A^T A = I
提示：注意正交变换在实数域和复数域的定义略有不同，但特征值性质相同。
步骤 2/7
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是正交矩阵 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x}$（非零向量），则有 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：特征向量不能为零向量。
步骤 3/7
目标：取共轭转置
对等式 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 两边取共轭转置，得到 $\mathbf{x}^* A^T = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$，其中 $\mathbf{x}^*$ 是 $\mathbf{x}$ 的共轭转置。
公式：\mathbf{x}^* A^T = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*
提示：注意共轭转置的顺序：$(A\mathbf{x})^* = \mathbf{x}^* A^*$，但这里 $A$ 是实矩阵，所以 $A^* = A^T$。
步骤 4/7
目标：构造内积等式
将 $\mathbf{x}^* A^T = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$ 右乘 $A\mathbf{x}$，得到 $\mathbf{x}^* A^T A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* A \mathbf{x}$。又因为 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，所以右边为 $\bar{\lambda} \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。
公式：\mathbf{x}^* A^T A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}
提示：注意矩阵乘法的结合律。
步骤 5/7
目标：利用正交矩阵性质化简
由 $A^T A = I$，左边 $\mathbf{x}^* A^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^* I \mathbf{x} = \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。因此得到 $\mathbf{x}^* \mathbf{x} = |\lambda|^2 \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。
公式：\mathbf{x}^* \mathbf{x} = |\lambda|^2 \mathbf{x}^* \mathbf{x}
提示：注意 $\mathbf{x}^* \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2 > 0$，因为特征向量非零。
步骤 6/7
目标：推导特征值的模长条件
由于 $\mathbf{x}^* \mathbf{x} \neq 0$，两边除以 $\mathbf{x}^* \mathbf{x}$ 得 $1 = |\lambda|^2$，即 $|\lambda| = 1$。
公式：|\lambda| = 1
提示：不要忘记除以非零数，否则会丢失信息。
步骤 7/7
目标：讨论实数域和复数域的情况
在实数域上，特征值只能是实数，由 $|\lambda|=1$ 得 $\lambda = \pm 1$。在复数域上，特征值可以是模为1的任意复数，即 $\lambda = e^{i\theta}$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$。
公式：\lambda = \pm 1 \text{ 或 } e^{i\theta}
提示：注意实正交矩阵的特征值可能以共轭复数对出现，如 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$。
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