北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
二．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, A_{i j}$ 为行列式 $\displaystyle |A|$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，且 $\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ ，又 $\displaystyle a_{11} \neq 0$ ，求 $\displaystyle |A|$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用条件建立伴随矩阵关系
由条件 $A_{ij} = a_{ij}$，即代数余子式等于对应元素。伴随矩阵 $A^* = (A_{ji})$，所以 $A^* = (a_{ji}) = A^T$。
公式：$A^* = A^T$
提示：注意伴随矩阵的定义是代数余子式的转置，不要混淆下标。
步骤 2/7
目标：应用矩阵乘法性质
根据矩阵性质 $A A^* = |A| I$，代入 $A^* = A^T$ 得 $A A^T = |A| I$。设 $|A| = d$，则 $A A^T = d I$。
公式：$A A^T = d I$
提示：注意 $I$ 是3阶单位矩阵。
步骤 3/7
目标：比较第一行第一列元素
比较 $A A^T = d I$ 两边 $(1,1)$ 元素：$a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = d$。
公式：$a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = d$
提示：矩阵乘法时注意行乘列。
步骤 4/7
目标：利用代数余子式条件
由 $A_{11} = a_{11}$，而 $A_{11}$ 是 $a_{11}$ 的代数余子式，即 $A_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}$。
公式：$\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}$
提示：代数余子式带符号，但这里 $A_{11}$ 符号为正。
步骤 5/7
目标：按第一行展开行列式
将 $|A|$ 按第一行展开：$d = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = d$，恒成立，未提供新信息。
公式：$d = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2$
提示：这一步验证了之前的结果，但未得到新方程。
步骤 6/7
目标：利用行列式乘法性质求d
对 $A A^T = d I$ 两边取行列式：$|A A^T| = |d I|$，即 $|A|^2 = d^3$，所以 $d^2 = d^3$，即 $d^2(d-1)=0$。
公式：$d^2 = d^3$
提示：注意 $|dI| = d^n$，这里n=3。
步骤 7/7
目标：确定d的值
由 $a_{11} \neq 0$ 且 $d = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 > 0$，故 $d \neq 0$，所以 $d=1$。因此 $|A| = 1$。
提示：排除 $d=0$ 的情况，因为 $a_{11} \neq 0$ 导致 $d>0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。