北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 正定，则实常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2a x_1x_2+2x_2x_3$ 对应的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵的构造规则
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/7
目标：应用正定的充要条件
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于0。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：正定矩阵的判别定理
提示：顺序主子式是从左上角开始依次取前k行和前k列构成的行列式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是矩阵的第一个元素，本题中为1，自动满足。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式并求解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot4 - a\cdot a = 4 - a^2 > 0$，解得 $-2 < a < 2$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix}=ps-qr$
提示：注意解不等式时不要遗漏负号。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式并求解不等式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$1\cdot\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - a\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0\cdot\begin{vmatrix} a & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(8-1) - a\cdot(2a-0) = 7 - 2a^2 > 0$，解得 $-\frac{\sqrt{14}}{2} < a < \frac{\sqrt{14}}{2}$。
公式：行列式展开法则
提示：计算时注意符号，按行展开时正负号交替。
步骤 6/7
目标：取各条件的交集
由 $\Delta_2>0$ 得 $-20$ 得 $-\frac{\sqrt{14}}{2}1.87$，因此交集为 $-\frac{\sqrt{14}}{2}0$，$\Delta_3=7-2*3.61=7-7.22=-0.22<0$，不满足正定。所以正确答案应为 $(-\frac{\sqrt{14}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2})$。但原题答案写的是 $(-2,2)$，可能是题目中二次型有误？实际上常见题目中二次型为 $x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2a x_1x_2+2x_1x_3$ 或类似。但根据给定题目，我们按正确计算给出。
提示：注意两个不等式要取交集，且要比较数值大小。
步骤 7/7
目标：得出最终取值范围
综合 $\Delta_2>0$ 和 $\Delta_3>0$，取交集得 $-\frac{\sqrt{14}}{2} < a < \frac{\sqrt{14}}{2}$。因此实常数 $a$ 的取值范围为 $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$。
提示：最终答案应写成区间形式，注意开闭。
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