北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 4 阶方阵 $A, B$ 的伴随矩阵为 $A^{*}, B^{*}$ ，且它们的秩为 $r(A)=3, r(B)=4$ ，则秩 $\left(A^{*} B^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A的秩并确定A*的秩
已知A为4阶方阵，且r(A)=3。对于n阶方阵，若r(A)=n-1，则r(A*)=1。因为n=4，r(A)=3，所以r(A*)=1。
公式：若r(A)=n-1，则r(A*)=1
提示：注意n=4，r(A)=3时，A*的秩为1，不是0。
步骤 2/5
目标：分析矩阵B的秩并确定B*的秩
已知B为4阶方阵，且r(B)=4，所以B可逆，|B|≠0。伴随矩阵B* = |B|B^{-1}，因此B*也可逆，r(B*)=4。
公式：B* = |B|B^{-1}
提示：可逆矩阵的伴随矩阵也可逆。
步骤 3/5
目标：利用秩不等式估计r(A*B*)的上界
对于任意两个矩阵，有r(A*B*) ≤ min{r(A*), r(B*)}。代入r(A*)=1，r(B*)=4，得r(A*B*) ≤ 1。
公式：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
提示：不等式方向不要弄反。
步骤 4/5
目标：利用可逆矩阵乘法的秩不变性确定下界
由于B*可逆，左乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，即r(A*B*) = r(A*)。因为r(A*)=1，所以r(A*B*)=1。
公式：若P可逆，则r(AP)=r(A)
提示：注意是左乘还是右乘，这里B*在右边，但可逆矩阵在右边同样秩不变。
步骤 5/5
目标：综合上下界得出最终秩
由步骤3得r(A*B*) ≤ 1，由步骤4得r(A*B*) = 1，因此r(A*B*)=1。
提示：上下界一致时即为最终结果。
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