北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且
$$
\xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) .
$$
证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。
人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将向量组表示为矩阵乘积形式
令 $A = (a_{ij})_{m \times s}$，则向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 可表示为
$$
(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s) = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m) A.
$$
提示：注意矩阵乘积的顺序：$\beta$ 是行向量组，$A$ 是系数矩阵。
步骤 2/7
目标：利用线性无关性建立坐标对应
由于 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 线性无关，它们构成 $V$ 的一组基。每个 $\xi_i$ 在该基下的坐标向量就是 $A$ 的第 $i$ 列。因此，向量组 $\xi_1, \dots, \xi_s$ 的秩等于其坐标向量组的秩，即矩阵 $A$ 的列秩。
提示：线性无关的向量组才能作为基，坐标是唯一的。
步骤 3/7
目标：转化为矩阵秩的结论
矩阵的列秩等于矩阵的秩，即 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$。因此，$\xi_1, \dots, \xi_s$ 的秩等于 $A$ 的秩。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \text{列秩} = \text{行秩}$
提示：注意矩阵的秩是行秩也是列秩，但这里直接用的是列秩。
步骤 4/7
目标：总结结论
因此，向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 的秩等于矩阵 $(a_{ij})_{m \times s}$ 的秩。
步骤 5/7
目标：第八题：利用特征值定义和正交性
设 $A$ 是正交矩阵，即 $A^T A = I$。若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，则存在非零向量 $\alpha$ 使得 $A\alpha = \lambda_0 \alpha$。两边取转置得 $\alpha^T A^T = \lambda_0 \alpha^T$。
公式：$A^T A = I$
提示：注意转置运算：$(A\alpha)^T = \alpha^T A^T$。
步骤 6/7
目标：利用正交矩阵性质替换转置
由于 $A$ 正交，$A^T = A^{-1}$，代入得 $\alpha^T A^{-1} = \lambda_0 \alpha^T$。右乘 $A$ 得 $\alpha^T = \lambda_0 \alpha^T A$，即 $\alpha^T A = \lambda_0^{-1} \alpha^T$。
公式：$A^T = A^{-1}$
提示：右乘 $A$ 时注意顺序：$\alpha^T A^{-1} A = \alpha^T$。
步骤 7/7
目标：得出特征值结论
因此 $\lambda_0^{-1}$ 是 $A$ 的特征值，对应的左特征向量为 $\alpha^T$。由于 $A$ 是实正交矩阵，特征值模长为1，故 $\lambda_0 \neq 0$，且 $\lambda_0^{-1} = \overline{\lambda_0}$ 也是 $A$ 的特征值。
提示：注意左特征向量与右特征向量的区别，但这里只需说明存在性。
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