北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1、求 $f(x)=x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-4 x-1, g(x)=x^{3}+x^{2} -x-1$ 的最大公因式 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定被除式和除式
设 $f(x)=x^{4}+x^{3}-3x^{2}-4x-1$，$g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$。由于 $f(x)$ 次数高于 $g(x)$，用 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 开始辗转相除法。
提示：注意多项式除法中，被除式和除式均按降幂排列，缺项补零。
步骤 2/6
目标：第一次除法：$f(x)$ 除以 $g(x)$
计算 $f(x) \div g(x)$：商的首项为 $x$，乘 $g(x)$ 得 $x^4+x^3-x^2-x$，相减得余式 $r_1(x) = -2x^2-3x-1$。即 $$f(x) = x \cdot g(x) + (-2x^2-3x-1).$$
公式：多项式除法：$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$，其中 $\deg r < \deg g$。
提示：相减时注意符号，避免错误。余式次数为2，小于除式次数3，除法结束。
步骤 3/6
目标：第二次除法：$g(x)$ 除以 $r_1(x)$
用 $g(x)$ 除以 $r_1(x) = -2x^2-3x-1$。商的首项为 $-\frac{1}{2}x$，乘 $r_1(x)$ 得 $x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x$，相减得 $-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-1$。再商 $\frac{1}{4}$，乘 $r_1(x)$ 得 $-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}$，相减得余式 $r_2(x) = -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}(x+1)$。即 $$g(x) = \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right) r_1(x) + \left(-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right).$$
公式：多项式除法步骤同上。
提示：系数为分数时，计算要仔细，避免分数运算错误。
步骤 4/6
目标：第三次除法：$r_1(x)$ 除以 $r_2(x)$
用 $r_1(x) = -2x^2-3x-1$ 除以 $r_2(x) = -\frac{3}{4}(x+1)$。先提取常数因子：$\frac{r_1(x)}{r_2(x)} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2x^2+3x+1}{x+1}$。计算 $\frac{2x^2+3x+1}{x+1}$：商 $2x+1$，乘 $x+1$ 得 $2x^2+3x+1$，余式为0。因此 $r_1(x)$ 被 $r_2(x)$ 整除。
公式：多项式整除：若 $r(x) \mid p(x)$，则 $p(x) = q(x) r(x)$。
提示：注意提取常数因子时，不要遗漏符号。
步骤 5/6
目标：确定最大公因式
辗转相除法中，最后一个非零余式 $r_2(x) = -\frac{3}{4}(x+1)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个最大公因式。通常取首一多项式作为最大公因式，即 $x+1$。
公式：辗转相除法：$\gcd(f,g) = \gcd(g, r_1) = \gcd(r_1, r_2) = \cdots$，最后一个非零余式即为最大公因式。
提示：最大公因式不唯一，相差一个非零常数倍。通常取首一多项式。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证 $x+1$ 是否整除 $f(x)$ 和 $g(x)$：$f(-1)=1-1-3+4-1=0$，$g(-1)=-1+1+1-1=0$，所以 $x+1$ 是公因式。又因为 $\gcd$ 次数为1，且 $f$ 和 $g$ 无更高次公因式，故正确。
公式：因式定理：若 $f(a)=0$，则 $x-a$ 是 $f(x)$ 的因式。
提示：验证时注意计算正确。
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