📝 北京交通大学 2024年高等代数真题
第0题
1、求 $f(x)=x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-4 x-1, g(x)=x^{3}+x^{2} -x-1$ 的最大公因式 $\_\_\_\_$ ．
第0题
2、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，则 $x, y$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
第0题
3、设矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{3}$ 阶矩阵，特征值是 $\mathbf{1}, 2,3$ ，则
$$
\left(A^{2}\right)^{*}+\left(A^{-1}\right)^{*}+\left(A^{*}\right)^{*}
$$
的全部特征值为 $\_\_\_\_$。
$$
\left(A^{2}\right)^{*}+\left(A^{-1}\right)^{*}+\left(A^{*}\right)^{*}
$$
的全部特征值为 $\_\_\_\_$。
第0题
4、设 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
A B=B C=C A=E
$$
则 $A^{2}+B^{2}+C^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
5 、已知两个向量组：$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 和
$\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ a\end{array}\right)$ ，并且向量组 $\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\}$
不能由向量组 $\left\{\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right\}$ 线性表示，则 $\_\_\_\_$ ．
$$
A B=B C=C A=E
$$
则 $A^{2}+B^{2}+C^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
5 、已知两个向量组：$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 和
$\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ a\end{array}\right)$ ，并且向量组 $\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\}$
不能由向量组 $\left\{\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right\}$ 线性表示，则 $\_\_\_\_$ ．
第0题
6、在 $R^{3}$ 中定义线性变换 $T$ ，对 $\forall \alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in R^{3}$ ，有
$$
T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} .
$$
则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．
$$
T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} .
$$
则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．
第0题
7、设、 $\mathscr{C}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$为 $\mathbf{V}$ 的一组基，满足
$$
\mathscr{C}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \mathscr{C}\left(\alpha_{n}\right)=\alpha_{1} .
$$
则 $\operatorname{det}(. /)=$ $\_\_\_\_$ ．
$$
\mathscr{C}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \mathscr{C}\left(\alpha_{n}\right)=\alpha_{1} .
$$
则 $\operatorname{det}(. /)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间：
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\
& V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} .
\end{aligned}
$$
证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\
& V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} .
\end{aligned}
$$
证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。
第0题
三、已知向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1 \\ b\end{array}\right)$ ．
问：当 $\displaystyle a, b$ 取何值时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一线性表示？
（3）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但表出式不唯一？写出此表出式。
问：当 $\displaystyle a, b$ 取何值时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一线性表示？
（3）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但表出式不唯一？写出此表出式。
第0题
九、设 $B$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的实矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，证明：线性方程组 $\displaystyle B X=0$ 只有零解充要条件是 $\displaystyle B^{T} B$ 正定．
第0题
二、计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}x & y & y & y & \cdots & y & y \\ z & x & y & y & \cdots & y & y \\ z & z & x & y & \cdots & y & y \\ z & z & z & x & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & z & z & \cdots & x & z \\ z & z & z & z & \cdots & z & x\end{array}\right|_{n \times n}$ 。
第0题
五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换
在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵.
（2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域．
（3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。
（4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。
在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵.
（2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域．
（3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。
（4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。
第0题
八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形．
（3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形．
（3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．
第0题
六、已知 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{m}-x^{m}-1$ 被 $\displaystyle x^{2}+x+1$ 整除。
求 $m$ 的取值．
求 $m$ 的取值．
第0题
四、设 4 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵方程：
$$
\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right]^{-1} X A^{-1}=2 A X+12 E_{4}
$$
$$
\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right]^{-1} X A^{-1}=2 A X+12 E_{4}
$$