北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、已知向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1 \\ b\end{array}\right)$ ．
问：当 $\displaystyle a, b$ 取何值时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一线性表示？
（3）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但表出式不唯一？写出此表出式。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性方程组
设 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$，代入向量得线性方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 = -1 \\
x_2 - x_3 = 2 \\
x_1 + x_2 + a x_3 = 1 \\
x_2 - x_3 = b
\end{cases}
\]
提示：注意方程组中第2个和第4个方程形式相同，但常数项不同，这会影响解的存在性。
步骤 2/7
目标：写出增广矩阵并初等行变换
增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
1 & 1 & a & 1 \\
0 & 1 & -1 & b
\end{pmatrix}
\]
进行初等行变换：
$R_3 - R_1$ 得
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & a-2 & 2 \\
0 & 1 & -1 & b
\end{pmatrix}
\]
再 $R_3 - R_2$，$R_4 - R_2$ 得
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & a-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & b-2
\end{pmatrix}
\]
提示：注意行变换的顺序，避免计算错误。最后一行出现 $b-2$，是判断解的关键。
步骤 3/7
目标：分析无解情况
当 $b \neq 2$ 时，最后一行对应方程 $0 = b-2 \neq 0$，方程组无解。此时系数矩阵秩 $R(A)=3$，增广矩阵秩 $R(A|\beta)=4$，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。
提示：注意：无解时 $R(A) \neq R(A|\beta)$，且 $R(A|\beta) = R(A)+1$。
步骤 4/7
目标：分析唯一解情况
当 $b=2$ 且 $a \neq 1$ 时，最后两行变为 $0=0$，系数矩阵和增广矩阵秩均为3，等于未知数个数，方程组有唯一解。$\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表示。
提示：注意：$a \neq 1$ 保证第三行非零，秩为3。
步骤 5/7
目标：分析无穷多解情况
当 $b=2$ 且 $a=1$ 时，第三行全零，秩为2，小于未知数个数3，方程组有无穷多解。$\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，但表出式不唯一。
提示：注意：此时 $R(A)=R(A|\beta)=2<3$，自由变量个数为1。
步骤 6/7
目标：求解无穷多解时的表达式
当 $b=2$ 且 $a=1$ 时，增广矩阵化为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
对应方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 = -1 \\
x_2 - x_3 = 2
\end{cases}
\]
令 $x_3 = k$（$k$ 为任意常数），则 $x_1 = -1 - 2k$，$x_2 = 2 + k$。因此
\[
\beta = (-1-2k)\alpha_1 + (2+k)\alpha_2 + k\alpha_3,\quad k \in \mathbb{R}.
\]
提示：注意：自由变量 $x_3$ 可以取任意实数，表出式不唯一。
步骤 7/7
目标：总结答案
（1）当 $b \neq 2$ 时，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。
（2）当 $b=2$ 且 $a \neq 1$ 时，$\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表示。
（3）当 $b=2$ 且 $a=1$ 时，$\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，但表出式不唯一，表出式为 $\beta = (-1-2k)\alpha_1 + (2+k)\alpha_2 + k\alpha_3$，$k$ 为任意常数。
提示：注意：答案要分情况讨论完整，不要遗漏。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。