北京交通大学 2024年高等代数第0题

设 $\omega$ 是 $x^2+x+1=0$ 的一个根，则 $\omega^2+\omega+1=0$，且 $\omega^3=1$，$\omega \neq 1$。由于 $f(x)$ 被 $x^2+x+1$ 整除，故 $f(\omega)=0$。

计算 $f(\omega)=(\omega+1)^m - \omega^m - 1$。由 $\omega^2+\omega+1=0$ 得 $\omega+1 = -\omega^2$，所以 $$f(\omega)=(-\omega^2)^m - \omega^m - 1 = (-1)^m \omega^{2m} - \omega^m - 1.$$

令 $u = \omega^m$，则 $f(\omega)=(-1)^m u^2 - u - 1 = 0$。

由于 $\omega^3=1$，$u = \omega^m$ 是 $1$ 的立方根，即 $u \in \{1, \omega, \omega^2\}$。

情况1：$u=1$，则 $(-1)^m - 1 - 1 = 0$，即 $(-1)^m = 2$，无解。 情况2：$u=\omega$，则 $(-1)^m \omega^2 - \omega - 1 = 0$。利用 $\omega^2 = -\omega-1$ 代入得 $-[(-1)^m+1](\omega+1)=0$，因 $\omega+1 \neq 0$，故 $(-1)^m+1=0$，$m$ 为奇数。此时 $\omega^m = \omega$ 推出 $\omega^{m-1}=1$，故 $3 \mid (m-1)$，即 $m \equiv 1 \pmod{3}$。 情况3：$u=\omega^2$，则 $(-1)^m \omega - \omega^2 - 1 = 0$。利用 $\omega^2 = -\omega-1$ 代入得 $\omega[(-1)^m+1]=0$，故 $(-1)^m+1=0$，$m$ 为奇数。此时 $\omega^m = \omega^2$ 推出 $\omega^{m-2}=1$，故 $3 \mid (m-2)$，即 $m \equiv 2 \pmod{3}$。

由情况2和3，$m$ 必须为奇数，且 $m \equiv 1 \pmod{3}$ 或 $m \equiv 2 \pmod{3}$，即 $m$ 不能被 $3$ 整除。由于奇数模 $3$ 只能余 $1$ 或 $2$，所以条件等价于 $m$ 是奇数且 $3 \nmid m$。

当 $m$ 为奇数且 $3 \nmid m$ 时，$f(\omega)=0$ 成立。例如 $m=1$：$f(x)=x+1-x-1=0$，被 $x^2+x+1$ 整除；$m=5$：$f(x)=(x+1)^5-x^5-1$，可验证 $f(\omega)=0$。当 $m$ 是 $3$ 的倍数时，$f(\omega) \neq 0$。