北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九、设 $B$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的实矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，证明：线性方程组 $\displaystyle B X=0$ 只有零解充要条件是 $\displaystyle B^{T} B$ 正定．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解问题与符号
已知 $B$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$X = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 是 $n$ 维列向量。要证明线性方程组 $BX = 0$ 只有零解（即 $X=0$ 是唯一解）当且仅当 $B^T B$ 是正定矩阵。
提示：注意 $B^T B$ 是 $n \times n$ 对称矩阵，正定性定义：对任意非零 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $X^T (B^T B) X > 0$。
步骤 2/4
目标：必要性：假设 $BX=0$ 只有零解，推导 $B^T B$ 正定
假设 $BX=0$ 只有零解，则 $B$ 的列向量线性无关，从而 $n \leq m$。考虑 $B^T B$，它是实对称矩阵。对任意非零列向量 $X \in \mathbb{R}^n$，由于 $X \neq 0$，且 $BX=0$ 只有零解，故 $BX \neq 0$。计算二次型：$X^T (B^T B) X = (BX)^T (BX) = \|BX\|^2 > 0$。因此 $B^T B$ 正定。
公式：$X^T (B^T B) X = \|BX\|^2$
提示：注意 $BX$ 是 $m$ 维列向量，其范数平方非负，且等于零当且仅当 $BX=0$。
步骤 3/4
目标：充分性：假设 $B^T B$ 正定，推导 $BX=0$ 只有零解
假设 $B^T B$ 正定，则对任意非零 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $X^T (B^T B) X > 0$。而 $X^T (B^T B) X = \|BX\|^2$，所以 $\|BX\|^2 > 0$，从而 $BX \neq 0$。因此，若 $X \neq 0$，则 $BX \neq 0$，即 $BX=0$ 只有零解。
公式：$X^T (B^T B) X = \|BX\|^2$
提示：正定性保证了对所有非零 $X$，二次型为正，从而 $BX$ 非零。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合必要性和充分性，线性方程组 $BX=0$ 只有零解的充要条件是 $B^T B$ 正定。
提示：注意 $B^T B$ 正定等价于 $B$ 列满秩（秩为 $n$）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。