北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、设 4 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵方程：
$$
\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right]^{-1} X A^{-1}=2 A X+12 E_{4}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵结构并计算行列式
矩阵 $A$ 是分块对角矩阵：$A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $\det(B) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1$，$\det(C) = 0 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2$，所以 $\det(A) = \det(B) \det(C) = 2$。
公式：$\det(A) = \det(B) \det(C)$
提示：分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。
步骤 2/7
目标：求逆矩阵 $A^{-1}$
由于 $A$ 可逆，$A^{-1} = \begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{pmatrix}$。$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \operatorname{adj}(M)$
提示：注意分块矩阵求逆时，每个子块分别求逆。
步骤 3/7
目标：化简 $\left(\frac{1}{2}A\right)^*$ 及其逆
对于可逆矩阵 $M$，有 $M^* = \det(M) M^{-1}$。$\det\left(\frac{1}{2}A\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \det(A) = \frac{1}{16} \cdot 2 = \frac{1}{8}$。所以 $\left(\frac{1}{2}A\right)^* = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = \frac{1}{8} \cdot 2 A^{-1} = \frac{1}{4} A^{-1}$。因此 $\left[\left(\frac{1}{2}A\right)^*\right]^{-1} = \left(\frac{1}{4} A^{-1}\right)^{-1} = 4A$。
公式：$M^* = \det(M) M^{-1}$
提示：注意 $\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = 2A^{-1}$，因为 $(kM)^{-1} = \frac{1}{k} M^{-1}$。
步骤 4/7
目标：代入原方程并化简
原方程化为 $(4A) X A^{-1} = 2A X + 12E_4$。左乘 $A^{-1}$ 得 $4X A^{-1} = 2X + 12A^{-1}$。右乘 $A$ 得 $4X = 2X A + 12E_4$，即 $4X - 2X A = 12E_4$，$2X(2E_4 - A) = 12E_4$，$X(2E_4 - A) = 6E_4$。所以 $X = 6 (2E_4 - A)^{-1}$。
公式：矩阵乘法结合律
提示：注意左乘和右乘的顺序，不能随意交换。
步骤 5/7
目标：计算 $2E_4 - A$
$2E_4 - A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵减法
提示：注意对角元和非对角元的计算。
步骤 6/7
目标：求 $(2E_4 - A)^{-1}$
设 $D = 2E_4 - A = \begin{pmatrix} D_1 & 0 \\ 0 & D_2 \end{pmatrix}$，其中 $D_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$，$D_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。$\det(D_1) = 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-1) = -3$，$D_1^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$。$\det(D_2) = 2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1 = 6$，$D_2^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$。所以 $(2E_4 - A)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$。
公式：二阶矩阵求逆公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：注意分块对角矩阵的逆也是分块对角矩阵，每个子块分别求逆。
步骤 7/7
目标：计算 $X$
$X = 6 (2E_4 - A)^{-1} = 6 \times \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：数乘矩阵
提示：数乘矩阵时，每个元素都要乘以该数。
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