北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二、计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}x & y & y & y & \cdots & y & y \\ z & x & y & y & \cdots & y & y \\ z & z & x & y & \cdots & y & y \\ z & z & z & x & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & z & z & \cdots & x & z \\ z & z & z & z & \cdots & z & x\end{array}\right|_{n \times n}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：行变换化简行列式
将行列式 $D_n$ 的第 $2$ 至 $n$ 行都减去第 $1$ 行，得到
\[ D_n = \begin{vmatrix} x & y & y & \cdots & y & y \\ z-x & x-y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ z-x & z-y & x-y & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z-x & z-y & z-y & \cdots & x-y & 0 \\ z-x & z-y & z-y & \cdots & z-y & x-y \end{vmatrix}. \]
提示：注意行变换时，第1行保持不变，其他行减去第1行后，第1列元素变为 $z-x$，第2列及以后除了对角线外变为0。
步骤 2/6
目标：按最后一列展开
观察化简后的行列式，最后一列只有最后一个元素 $x-y$ 非零，其余均为0。因此按第 $n$ 列展开，得
\[ D_n = (x-y) \begin{vmatrix} x & y & y & \cdots & y \\ z-x & x-y & 0 & \cdots & 0 \\ z-x & z-y & x-y & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z-x & z-y & z-y & \cdots & x-y \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}. \]
公式：行列式按一行（列）展开公式
提示：展开时注意符号：由于第 $n$ 列第 $n$ 行元素 $x-y$ 的代数余子式符号为 $(-1)^{n+n}=1$，所以直接乘以 $(x-y)$ 即可。
步骤 3/6
目标：建立递推关系
记 $D_{n-1}$ 为上述 $(n-1)$ 阶行列式，则得到递推关系
\[ D_n = (x-y) D_{n-1}. \]
提示：注意 $D_{n-1}$ 的结构与 $D_n$ 类似，只是阶数减少1。
步骤 4/6
目标：递推求解
重复应用递推关系，可得
\[ D_n = (x-y) D_{n-1} = (x-y)^2 D_{n-2} = \cdots = (x-y)^{n-1} D_1. \]
提示：递推时注意指数：从 $n$ 到 $1$ 共递推 $n-1$ 次。
步骤 5/6
目标：计算初始值
当 $n=1$ 时，行列式 $D_1 = x$。
提示：注意 $n=1$ 时行列式就是单个元素 $x$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将 $D_1 = x$ 代入递推结果，得
\[ D_n = x (x-y)^{n-1}. \]
提示：最终结果需检查 $n=1$ 时是否成立：$x(x-y)^0 = x$，正确。
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