北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间：
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\
& V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} .
\end{aligned}
$$
证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确子空间定义
首先，明确子空间的定义：
- $V_1 = \{ \alpha \in V \mid T\alpha = \alpha \}$，即 $T$ 的不动点集。
- $V_2 = \{ \beta \in V \mid \beta = \alpha - T\alpha, \forall \alpha \in V \}$，即 $T$ 的像的补空间。
我们需要证明 $V_1 = V_2^\perp$，即 $V_1$ 是 $V_2$ 的正交补。
提示：注意 $V_2$ 的定义中 $\alpha$ 取遍 $V$ 中所有向量，因此 $V_2$ 是 $T$ 的像的补空间。
步骤 2/8
目标：证明 $V_1 \subseteq V_2^\perp$
任取 $\alpha_0 \in V_1$，则 $T\alpha_0 = \alpha_0$。对于任意 $\beta \in V_2$，存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \alpha - T\alpha$。计算内积：
$$\langle \alpha_0, \beta \rangle = \langle \alpha_0, \alpha - T\alpha \rangle = \langle \alpha_0, \alpha \rangle - \langle \alpha_0, T\alpha \rangle.$$
公式：内积的线性性
提示：注意内积的线性性：$\langle u, v+w \rangle = \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle$。
步骤 3/8
目标：利用正交变换性质化简内积
由于 $T$ 是正交变换，有 $\langle \alpha_0, T\alpha \rangle = \langle T^{-1}\alpha_0, \alpha \rangle = \langle T\alpha_0, \alpha \rangle$（因为正交变换满足 $T^{-1}=T^*$，且 $T\alpha_0=\alpha_0$），所以 $\langle \alpha_0, T\alpha \rangle = \langle \alpha_0, \alpha \rangle$。因此：
$$\langle \alpha_0, \beta \rangle = \langle \alpha_0, \alpha \rangle - \langle \alpha_0, \alpha \rangle = 0.$$
公式：正交变换性质：$\langle T u, v \rangle = \langle u, T^{-1} v \rangle$
提示：注意正交变换满足 $T^{-1}=T^*$，即 $\langle T u, v \rangle = \langle u, T^* v \rangle = \langle u, T^{-1} v \rangle$。
步骤 4/8
目标：得到 $V_1 \subseteq V_2^\perp$
由 $\langle \alpha_0, \beta \rangle = 0$ 对任意 $\beta \in V_2$ 成立，故 $\alpha_0 \perp V_2$，即 $\alpha_0 \in V_2^\perp$。所以 $V_1 \subseteq V_2^\perp$。
提示：注意正交补的定义：$V_2^\perp = \{ \gamma \in V \mid \langle \gamma, \beta \rangle = 0, \forall \beta \in V_2 \}$。
步骤 5/8
目标：证明 $V_2^\perp \subseteq V_1$
任取 $\gamma \in V_2^\perp$，则对任意 $\alpha \in V$，有 $\langle \gamma, \alpha - T\alpha \rangle = 0$。即：
$$\langle \gamma, \alpha \rangle - \langle \gamma, T\alpha \rangle = 0 \quad \Rightarrow \quad \langle \gamma, \alpha \rangle = \langle \gamma, T\alpha \rangle.$$
提示：注意 $\alpha$ 是任意的，因此这个等式对所有 $\alpha \in V$ 成立。
步骤 6/8
目标：利用正交变换性质得到 $\gamma = T^{-1}\gamma$
由于 $T$ 是正交变换，$\langle \gamma, T\alpha \rangle = \langle T^*\gamma, \alpha \rangle = \langle T^{-1}\gamma, \alpha \rangle$。因此：
$$\langle \gamma, \alpha \rangle = \langle T^{-1}\gamma, \alpha \rangle \quad \forall \alpha \in V.$$
由内积的非退化性，得 $\gamma = T^{-1}\gamma$，即 $T\gamma = \gamma$。
公式：内积的非退化性：若 $\langle u, v \rangle = \langle w, v \rangle$ 对所有 $v$ 成立，则 $u=w$。
提示：非退化性是指内积是正定的，即若 $\langle u, v \rangle = 0$ 对所有 $v$ 成立，则 $u=0$。这里用到的是其推论。
步骤 7/8
目标：得到 $V_2^\perp \subseteq V_1$
由 $T\gamma = \gamma$ 知 $\gamma \in V_1$，故 $V_2^\perp \subseteq V_1$。
步骤 8/8
目标：结论
由 $V_1 \subseteq V_2^\perp$ 和 $V_2^\perp \subseteq V_1$ 得 $V_1 = V_2^\perp$。
提示：注意集合相等需要双向包含。
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