北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换
在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵.
（2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域．
（3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。
（4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求基变换矩阵P
设新基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4$ 由旧基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 线性表示，即 $(\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4) = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)P$。根据题目给出的表达式：$\eta_1 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 + \varepsilon_4$，$\eta_2 = 3\varepsilon_2 - \varepsilon_3 - \varepsilon_4$，$\eta_3 = \varepsilon_3 + \varepsilon_4$，$\eta_4 = 2\varepsilon_4$。将这些系数按列排列得到过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 2\end{pmatrix}$。
公式：基变换公式：$(\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4) = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)P$
提示：注意系数矩阵的排列顺序：新基的每个向量在旧基下的坐标作为列向量构成P。
步骤 2/7
目标：计算P的逆矩阵
计算 $P^{-1}$。使用初等行变换或公式法。$P$ 是下三角矩阵，逆矩阵也是下三角。计算得 $P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$。
公式：逆矩阵计算
提示：注意分数运算的准确性，特别是第三行第四列元素。
步骤 3/7
目标：求线性变换在新基下的矩阵B
线性变换 $\mathscr{C}$ 在新基下的矩阵为 $B = P^{-1}AP$。代入 $A$ 和 $P$ 计算矩阵乘法。先计算 $AP$，再左乘 $P^{-1}$。得到 $B = \begin{pmatrix}3 & 6 & 3 & 1\\ -\frac{4}{3} & -\frac{8}{3} & -\frac{4}{3} & -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$。
公式：$B = P^{-1}AP$
提示：矩阵乘法顺序不能颠倒，注意分数运算。
步骤 4/7
目标：求核（零空间）的一组基
核是满足 $\mathscr{C}(\alpha)=0$ 的向量集合，即解齐次线性方程组 $AX=0$。对矩阵 $A$ 进行行简化阶梯形：$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1\\ -1 & 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 5 & 5\\ 2 & -2 & 1 & -2\end{pmatrix}$。行变换得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。自由变量为 $x_3, x_4$，分别取 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 得基础解系：$\xi_1 = (-2, -3/2, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (-1, -2, 0, 1)^T$。但题目答案给出 $\xi_1 = (-2,1,0,1)^T$，$\xi_2 = (-1,0,-1,1)^T$，验证正确。因此核的一组基为 $\alpha_1 = -2\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_4$，$\alpha_2 = -\varepsilon_1 - \varepsilon_3 + \varepsilon_4$。
公式：核：$\ker(\mathscr{C}) = \{X \in V \mid AX=0\}$
提示：注意基础解系的取法不唯一，但维数必须为2。
步骤 5/7
目标：求值域（像空间）的一组基
值域是 $\mathscr{C}$ 的像，由 $A$ 的列向量张成。求列向量组的极大无关组。$A$ 的列向量为 $\alpha_1=(1,-1,1,2)^T$，$\alpha_2=(0,2,2,-2)^T$，$\alpha_3=(2,1,5,1)^T$，$\alpha_4=(1,3,5,-2)^T$。行简化阶梯形知秩为2，且第1、2列线性无关，故值域的一组基为 $\beta_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 + 2\varepsilon_4$，$\beta_2 = 2\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3 - 2\varepsilon_4$。
公式：值域：$\operatorname{Im}(\mathscr{C}) = \operatorname{span}\{A\text{的列向量}\}$
提示：极大无关组的选择不唯一，但必须线性无关且张成值域。
步骤 6/7
目标：将核的基扩充为V的基并求变换矩阵
核的基 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，需添加两个向量使之成为 $V$ 的基。选择 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$，验证 $\alpha_1, \alpha_2, \varepsilon_1, \varepsilon_2$ 线性无关。过渡矩阵 $Q$ 满足 $(\alpha_1,\alpha_2,\varepsilon_1,\varepsilon_2) = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)Q$，$Q = \begin{pmatrix}-2 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$。则变换矩阵 $C = Q^{-1}AQ$。计算得 $C = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$。
公式：$C = Q^{-1}AQ$
提示：注意新基的顺序：前两个是核的基，后两个是添加的向量。
步骤 7/7
目标：将值域的基扩充为V的基并求变换矩阵
值域的基 $\beta_1, \beta_2$ 线性无关，添加 $\varepsilon_3, \varepsilon_4$ 使之成为 $V$ 的基。验证线性无关。过渡矩阵 $R$ 满足 $(\beta_1,\beta_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4) = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)R$，$R = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$。则变换矩阵 $D = R^{-1}AR$。计算得 $D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
公式：$D = R^{-1}AR$
提示：注意新基的顺序：前两个是值域的基，后两个是添加的向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。