北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
7、设、 $\mathscr{C}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$为 $\mathbf{V}$ 的一组基，满足
$$
\mathscr{C}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \mathscr{C}\left(\alpha_{n}\right)=\alpha_{1} .
$$
则 $\operatorname{det}(. /)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定线性变换在给定基下的矩阵
设基为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，线性变换 $\mathscr{C}$ 满足 $\mathscr{C}(\alpha_i) = \alpha_{i+1}$（$i=1,\dots,n-1$），$\mathscr{C}(\alpha_n) = \alpha_1$。则 $\mathscr{C}$ 在该基下的矩阵 $A$ 的第 $i$ 列是 $\mathscr{C}(\alpha_i)$ 在该基下的坐标。由于 $\mathscr{C}(\alpha_i) = \alpha_{i+1}$，其坐标为第 $i+1$ 个分量为1，其余为0（$i
提示：注意矩阵的列对应基像的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/3
目标：计算矩阵的行列式
矩阵 $A$ 是一个循环置换矩阵，其行列式可以通过行交换化为单位矩阵。观察 $A$ 的结构：第一行只有最后一个元素为1，其余为0；第二行第一个元素为1，其余为0；第三行第二个元素为1，等等。为了将 $A$ 化为单位矩阵，我们可以进行行交换：将第 $i$ 行与第 $i+1$ 行交换，$i=1,2,\dots,n-1$，共 $n-1$ 次交换。每次交换改变行列式的符号，因此 $\det(A) = (-1)^{n-1} \det(I) = (-1)^{n-1}$。
公式：行列式性质：交换两行，行列式变号。
提示：注意交换次数是 $n-1$，不是 $n$。也可以考虑将矩阵视为置换矩阵，其置换为 $(1\,2\,\dots\,n)$，符号为 $(-1)^{n-1}$。
步骤 3/3
目标：得出线性变换的行列式
线性变换的行列式等于其在任意基下矩阵的行列式，因此 $\det(\mathscr{C}) = \det(A) = (-1)^{n-1}$。
公式：$\det(\mathscr{C}) = \det(A)$
提示：线性变换的行列式与基的选取无关，但必须保证基是同一组。
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