北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3、设矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{3}$ 阶矩阵，特征值是 $\mathbf{1}, 2,3$ ，则
$$
\left(A^{2}\right)^{*}+\left(A^{-1}\right)^{*}+\left(A^{*}\right)^{*}
$$
的全部特征值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定A的特征值和行列式
设矩阵 $\mathbf{A}$ 是3阶矩阵，特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$。由于特征值互异，$\mathbf{A}$ 可对角化。行列式 $\det\mathbf{A} = 1 \times 2 \times 3 = 6$。
公式：$\det\mathbf{A} = \prod_{i=1}^3 \lambda_i$
提示：注意特征值乘积等于行列式，但仅当矩阵可对角化时特征值乘积才等于行列式，这里特征值互异，所以可对角化。
步骤 2/7
目标：计算A^2和A^{-1}的特征值
$\mathbf{A}^2$ 的特征值为 $\lambda_i^2$，即 $1, 4, 9$。$\mathbf{A}^{-1}$ 的特征值为 $\lambda_i^{-1}$，即 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$。
公式：若 $\mathbf{A}\alpha = \lambda\alpha$，则 $\mathbf{A}^2\alpha = \lambda^2\alpha$，$\mathbf{A}^{-1}\alpha = \lambda^{-1}\alpha$
提示：注意 $\mathbf{A}^{-1}$ 存在是因为特征值均非零。
步骤 3/7
目标：计算A^*的特征值
对于可逆矩阵 $\mathbf{A}$，伴随矩阵 $\mathbf{A}^*$ 的特征值为 $\frac{\det\mathbf{A}}{\lambda_i}$。代入 $\det\mathbf{A}=6$，得特征值 $\frac{6}{1}=6$，$\frac{6}{2}=3$，$\frac{6}{3}=2$。
公式：$\mathbf{A}^* = \det\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1}$，故特征值为 $\frac{\det\mathbf{A}}{\lambda_i}$
提示：该公式仅对可逆矩阵成立。
步骤 4/7
目标：计算(A^*)^*的特征值
对于3阶可逆矩阵，有 $(\mathbf{A}^*)^* = (\det\mathbf{A})^{3-2} \mathbf{A} = \det\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = 6\mathbf{A}$。因此 $(\mathbf{A}^*)^*$ 的特征值为 $6\lambda_i$，即 $6, 12, 18$。
公式：对 $n$ 阶可逆矩阵，$(\mathbf{A}^*)^* = (\det\mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}$
提示：注意 $n=3$ 时指数为1，不要忘记系数。
步骤 5/7
目标：计算(A^2)^*的特征值
$(\mathbf{A}^2)^* = \det(\mathbf{A}^2) (\mathbf{A}^2)^{-1} = (\det\mathbf{A})^2 \mathbf{A}^{-2} = 36 \mathbf{A}^{-2}$。$\mathbf{A}^{-2}$ 的特征值为 $\lambda_i^{-2}$，即 $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}$。故 $(\mathbf{A}^2)^*$ 的特征值为 $36 \times 1 = 36$，$36 \times \frac{1}{4} = 9$，$36 \times \frac{1}{9} = 4$。
公式：$\mathbf{B}^* = \det\mathbf{B} \cdot \mathbf{B}^{-1}$，其中 $\mathbf{B}=\mathbf{A}^2$
提示：注意 $\det(\mathbf{A}^2) = (\det\mathbf{A})^2$。
步骤 6/7
目标：计算(A^{-1})^*的特征值
$(\mathbf{A}^{-1})^* = \det(\mathbf{A}^{-1}) (\mathbf{A}^{-1})^{-1} = \frac{1}{\det\mathbf{A}} \mathbf{A} = \frac{1}{6} \mathbf{A}$。因此特征值为 $\frac{1}{6} \lambda_i$，即 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$。
公式：$\det(\mathbf{A}^{-1}) = (\det\mathbf{A})^{-1}$
提示：注意 $(\mathbf{A}^{-1})^{-1} = \mathbf{A}$。
步骤 7/7
目标：求和矩阵的特征值
由于 $\mathbf{A}$ 可对角化，且各矩阵均为 $\mathbf{A}$ 的多项式或与 $\mathbf{A}$ 可交换，因此它们可同时对角化。矩阵 $\mathbf{B} = (\mathbf{A}^2)^* + (\mathbf{A}^{-1})^* + (\mathbf{A}^*)^*$ 的特征值为对应特征值之和。
- 对于 $\lambda_1=1$：$36 + \frac{1}{6} + 6 = 42 + \frac{1}{6} = \frac{253}{6}$
- 对于 $\lambda_2=2$：$9 + \frac{1}{3} + 12 = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}$
- 对于 $\lambda_3=3$：$4 + \frac{1}{2} + 18 = 22 + \frac{1}{2} = \frac{45}{2}$
公式：若 $\mathbf{A}\alpha = \lambda\alpha$，且 $\mathbf{B}=f(\mathbf{A})$，则 $\mathbf{B}\alpha = f(\lambda)\alpha$
提示：注意特征值相加时，必须对应同一个特征向量，这里由于可同时对角化，所以可以对应相加。
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