北京交通大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4、设 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
A B=B C=C A=E
$$
则 $A^{2}+B^{2}+C^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
5 、已知两个向量组：$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 和
$\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ a\end{array}\right)$ ，并且向量组 $\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\}$
不能由向量组 $\left\{\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right\}$ 线性表示，则 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用已知等式推导可逆性
由 $AB = E$ 知 $A$ 可逆且 $A^{-1} = B$；由 $BC = E$ 知 $B$ 可逆且 $B^{-1} = C$；由 $CA = E$ 知 $C$ 可逆且 $C^{-1} = A$。
公式：$AB = E \Rightarrow A^{-1} = B$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但可逆定义要求 $AB = BA = E$，这里只给出一侧，但由方阵性质可推出另一侧成立。
步骤 2/7
目标：推导矩阵相等
由 $A^{-1} = B$ 和 $B^{-1} = C$ 得 $A = B^{-1} = (C^{-1})^{-1} = C$，同理 $B = A$，$C = B$，故 $A = B = C$。
公式：$A = B^{-1}, B = C^{-1} \Rightarrow A = C$
提示：注意逆矩阵的逆等于原矩阵。
步骤 3/7
目标：计算平方和
由 $AB = E$ 且 $A = B$ 得 $A^2 = E$，同理 $B^2 = E$，$C^2 = E$，所以 $A^2 + B^2 + C^2 = 3E$。
公式：$A^2 = E$
提示：注意 $A = B$ 代入 $AB = E$ 得 $A^2 = E$。
步骤 4/7
目标：判断向量组秩的关系
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 不能由 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性表示，则 $\beta$ 组的秩小于 $\alpha$ 组的秩。先计算 $\alpha$ 组的秩。
提示：线性表示与秩的关系：若一个向量组可由另一个线性表示，则前者的秩不超过后者的秩。
步骤 5/7
目标：计算α组的秩
构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算行列式 $\det(A) = 1\cdot(1\cdot0 - 1\cdot1) - 0 + 1\cdot(0\cdot1 - 1\cdot1) = -1 -1 = -2 \neq 0$，故 $\alpha$ 组线性无关，秩为3。
公式：$\det(A) = -2$
提示：行列式非零则向量组线性无关。
步骤 6/7
目标：计算β组的秩条件
构造矩阵 $B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & a \end{pmatrix}$，计算行列式 $\det(B) = 1\cdot(2a - 12) - 1\cdot(1a - 4) + 3\cdot(3 - 2) = (2a-12) - (a-4) + 3 = a - 5$。令 $\det(B) = 0$ 得 $a = 5$，此时 $\beta$ 组秩小于3。
公式：$\det(B) = a - 5$
提示：行列式为零是向量组线性相关的充要条件。
步骤 7/7
目标：得出结论
当 $a = 5$ 时，$\beta$ 组线性相关，秩小于3，而 $\alpha$ 组秩为3，故 $\alpha$ 组不能由 $\beta$ 组线性表示。因此 $a = 5$。
提示：注意：若 $\beta$ 组秩等于3，则 $\beta$ 组是 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，任何向量组均可由其线性表示，故必须秩小于3。
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