北京交通大学 2025年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} A \beta$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 的度量阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解内积定义和度量矩阵概念
题目中内积定义为 $(\alpha, \beta) = \alpha^T A \beta$，其中 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$。给定两个向量 $\alpha_1 = \binom{1}{0}$ 和 $\alpha_2 = \binom{1}{1}$，要求它们在这组基下的度量矩阵。度量矩阵 $G$ 的元素 $g_{ij} = (\alpha_i, \alpha_j)$，即内积结果。
公式：$(\alpha, \beta) = \alpha^T A \beta$
提示：注意内积定义中 $A$ 是对称矩阵，且度量矩阵是对称的。
步骤 2/6
目标：计算 $g_{11} = (\alpha_1, \alpha_1)$
计算 $g_{11} = (\alpha_1, \alpha_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。先计算 $A \alpha_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$，再与 $\alpha_1^T$ 相乘：$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 5$。所以 $g_{11} = 5$。
公式：$g_{11} = \alpha_1^T A \alpha_1$
提示：矩阵乘法顺序：先算 $A\alpha$，再左乘 $\alpha^T$。
步骤 3/6
目标：计算 $g_{12} = (\alpha_1, \alpha_2)$
计算 $g_{12} = (\alpha_1, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。先算 $A \alpha_2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$，再左乘 $\alpha_1^T$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = 7$。所以 $g_{12} = 7$。
公式：$g_{12} = \alpha_1^T A \alpha_2$
提示：注意 $g_{12} = g_{21}$，因为内积对称。
步骤 4/6
目标：计算 $g_{21} = (\alpha_2, \alpha_1)$
由内积对称性，$g_{21} = g_{12} = 7$。也可直接计算验证：$\alpha_2^T A \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 7$。
公式：$g_{21} = g_{12}$
提示：利用对称性简化计算，但注意验证矩阵 $A$ 对称。
步骤 5/6
目标：计算 $g_{22} = (\alpha_2, \alpha_2)$
计算 $g_{22} = (\alpha_2, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。先算 $A \alpha_2 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$（已算过），再左乘 $\alpha_2^T$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = 10$。所以 $g_{22} = 10$。
公式：$g_{22} = \alpha_2^T A \alpha_2$
提示：注意矩阵乘法顺序，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：写出度量矩阵
度量矩阵 $G$ 为 $2 \times 2$ 矩阵，其元素为 $g_{ij}$，即 $G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}$。
公式：$G = (g_{ij})$
提示：度量矩阵是对称矩阵，检查 $g_{12}=g_{21}$。
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