📝 北京交通大学 2025年高等代数真题

七．$\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 。（具体数据忘了）
（1）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．
（2）求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基。
（3）证明：．．．．

三．已知非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
2 x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+4 x_{4}=-1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+p x_{3}+7 x_{4}=-1 \\
x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-x_{4}=t
\end{array}\right.
$$

有无穷多解，求 $\displaystyle p, t$ 的值与方程组的通解．

九．已知矩阵 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵，证明：
（1）$\displaystyle |A-\lambda B|=0$ 的根均大于等于 1 ．
（2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

二．计算行列式

$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & x & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & a_{2} & x & \cdots & a_{n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & x
\end{array}\right|, \text { 其中 } x \neq a_{i}(i=1,2, \cdots, n) .
$$

五．已知

$$
\alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} .
$$

$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X
$$

为标准型。

八．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏线性空间 $V$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ．证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=(\operatorname{Im} \tau)^{\perp}$ ．
（2）$\displaystyle V=\operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Im} \tau$ ．

六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．

四．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & a^{2} \\ \frac{1}{a} & 0 & a \\ \frac{1}{a^{2}} & \frac{1}{a} & 0\end{array}\right)$ ，求三阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\Lambda$ ，且求 $\displaystyle A^{n}$ ．

1．在有理数域上分解多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-3 x^{3}+6 x-4$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 是 3 阶方阵且 $\displaystyle A^{*}$ 是非零矩阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}-2 \alpha_{3}=0$ ，求 $\displaystyle r\left(A^{*} B^{*}\right)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n} & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，其中 $\displaystyle a_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ．

4．线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\
4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\
a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1
\end{array}\right.
$$

有 3 个线性无关的解，则 $\displaystyle a, b$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．已知行列式 $\displaystyle |A|$ 的每行元素之和为 $a$ ，且 $\displaystyle |A|=b$ ，则 $\displaystyle A_{1 n}+A_{2 n}+\cdots+A_{n n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．$\displaystyle X^{T} A X$ 的符号差为 1 ，且 $\displaystyle A^{2}-2 A=3 E$ ，则 $\displaystyle |A|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个不变子空间．

8．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right), A+t E$ 正定，$t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

10．设 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} A \beta$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 的度量阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．