北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏线性空间 $V$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ．证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=(\operatorname{Im} \tau)^{\perp}$ ．
（2）$\displaystyle V=\operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Im} \tau$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 Ker σ ⊆ (Im τ)⊥
任取 α ∈ Ker σ，则 σ(α)=0。对任意 β ∈ V，有 (σ(α), β)=0。由条件 (σ(α), β)=(α, τ(β))，得 (α, τ(β))=0 对任意 β ∈ V 成立。因此 α 与所有 τ(β) 正交，即 α ∈ (Im τ)⊥。故 Ker σ ⊆ (Im τ)⊥。
公式：(σ(α), β) = (α, τ(β))
提示：注意正交补的定义：α 与 Im τ 中所有向量正交。
步骤 2/5
目标：证明 (Im τ)⊥ ⊆ Ker σ
任取 α ∈ (Im τ)⊥，则对任意 β ∈ V，有 (α, τ(β))=0。由条件得 (σ(α), β)=0 对任意 β ∈ V 成立。特别地，取 β = σ(α)，得 (σ(α), σ(α))=0，故 σ(α)=0，即 α ∈ Ker σ。因此 (Im τ)⊥ ⊆ Ker σ。
公式：(σ(α), β) = (α, τ(β))
提示：取 β = σ(α) 是关键技巧，利用内积的正定性。
步骤 3/5
目标：得出 Ker σ = (Im τ)⊥
由前两步的包含关系，即得 Ker σ = (Im τ)⊥。
提示：注意集合相等需要双向包含。
步骤 4/5
目标：利用正交分解证明 V = Ker σ ⊕ Im τ
由（1）知 Ker σ = (Im τ)⊥。因为 V 是有限维欧氏空间，有正交分解 V = (Im τ)⊥ ⊕ Im τ，即 V = Ker σ ⊕ Im τ。
公式：V = W⊥ ⊕ W（有限维欧氏空间的正交分解）
提示：正交分解要求子空间是有限维的，这里 Im τ 是有限维的。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，（1）Ker σ = (Im τ)⊥；（2）V = Ker σ ⊕ Im τ。
提示：注意直和符号 ⊕ 表示子空间的和是直和，且正交。
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