北京交通大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．在有理数域上分解多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-3 x^{3}+6 x-4$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：寻找有理根
根据有理根定理，多项式 $f(x)=x^4-3x^3+6x-4$ 的有理根可能为常数项 $-4$ 的因子除以首项系数 $1$ 的因子，即 $\pm1, \pm2, \pm4$。计算 $f(1)=1-3+6-4=0$，所以 $x=1$ 是一个根。
公式：有理根定理：若 $\frac{p}{q}$ 是整系数多项式的根，则 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。
提示：注意检查所有可能的有理根，不要遗漏正负号。
步骤 2/5
目标：用综合除法除以 $(x-1)$
使用综合除法将 $f(x)$ 除以 $(x-1)$：
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
1 & 1 & -3 & 0 & 6 & -4 \\
& & 1 & -2 & -2 & 4 \\
\hline
& 1 & -2 & -2 & 4 & 0
\end{array}
\]
得到商式 $x^3-2x^2-2x+4$，余数为 $0$。因此 $f(x)=(x-1)(x^3-2x^2-2x+4)$。
公式：综合除法步骤：将根写在左边，系数写在右边，逐次下拉、相乘、相加。
提示：注意缺项补零：原多项式缺少 $x^2$ 项，系数为 $0$。
步骤 3/5
目标：分解三次多项式
令 $g(x)=x^3-2x^2-2x+4$。再次应用有理根定理，可能的有理根为 $\pm1, \pm2, \pm4$。计算 $g(2)=8-8-4+4=0$，所以 $x=2$ 是一个根。
提示：注意检查 $g(1)$ 和 $g(-1)$ 等值，避免遗漏。
步骤 4/5
目标：用综合除法除以 $(x-2)$
使用综合除法将 $g(x)$ 除以 $(x-2)$：
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 1 & -2 & -2 & 4 \\
& & 2 & 0 & -4 \\
\hline
& 1 & 0 & -2 & 0
\end{array}
\]
得到商式 $x^2-2$，余数为 $0$。因此 $g(x)=(x-2)(x^2-2)$。
提示：综合除法中，注意将系数对齐。
步骤 5/5
目标：写出完全分解
将以上结果组合，得到 $f(x)=(x-1)(x-2)(x^2-2)$。由于 $x^2-2$ 在有理数域上不可约（判别式 $\Delta=8$ 不是完全平方数，且无有理根），因此这就是有理数域上的最终分解。
公式：二次多项式 $ax^2+bx+c$ 在有理数域上不可约当且仅当判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 不是完全平方数。
提示：注意题目要求是在有理数域上分解，因此 $x^2-2$ 不能进一步分解为有理系数的一次因式。
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