北京交通大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 是 3 阶方阵且 $\displaystyle A^{*}$ 是非零矩阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}-2 \alpha_{3}=0$ ，求 $\displaystyle r\left(A^{*} B^{*}\right)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A的秩
已知 $\alpha_1+\alpha_2-2\alpha_3=0$，即 $A$ 的列向量线性相关，因此 $\det(A)=0$，$r(A)\le 2$。又 $A^*$ 非零，故 $r(A^*)\ge 1$。由秩的关系，$r(A^*)=1$ 当且仅当 $r(A)=2$，$r(A^*)=0$ 当且仅当 $r(A)\le 1$。由于 $A^*$ 非零，所以 $r(A)=2$，$r(A^*)=1$。
公式：若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$；若 $r(A)
提示：注意 $A^*$ 非零意味着 $r(A^*)\ge 1$，结合 $\det(A)=0$ 可推出 $r(A)=2$。
步骤 2/5
目标：计算矩阵B的行列式
计算 $B=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 的行列式：
$\det(B)=3\times(1\times1-0\times0)-0+1\times(1\times0-1\times1)=3-1=2\neq0$。
公式：行列式按第一行展开公式。
提示：计算时注意符号和代数余子式的正负。
步骤 3/5
目标：判断B的可逆性及B*的秩
由于 $\det(B)=2\neq0$，故 $B$ 可逆，$r(B)=3$。对于可逆矩阵，$B^* = \det(B)B^{-1}$，因此 $r(B^*)=3$。
公式：若 $B$ 可逆，则 $B^* = \det(B)B^{-1}$，且 $r(B^*)=n$。
提示：可逆矩阵的伴随矩阵也是可逆的。
步骤 4/5
目标：分析乘积矩阵的秩
考虑 $A^*B^*$。由于 $r(A^*)=1$，$r(B^*)=3$，根据秩的不等式 $r(A^*B^*)\le \min\{r(A^*), r(B^*)\}=1$。又因为 $A^*$ 非零且 $B^*$ 可逆，所以 $A^*B^*$ 非零，故 $r(A^*B^*)\ge 1$。因此 $r(A^*B^*)=1$。
公式：$r(AB)\le \min\{r(A), r(B)\}$；若 $B$ 可逆，则 $r(AB)=r(A)$。
提示：注意 $B^*$ 可逆，所以 $A^*B^*$ 的秩等于 $A^*$ 的秩，即1。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，$r(A^*B^*)=1$。
提示：最终答案填写1。
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