北京交通大学 2025年高等代数第3题

矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵，其非零元素仅位于次对角线（第 $i$ 行第 $i+1$ 列，$i=1,\dots,n-1$）和左下角（第 $n$ 行第 $1$ 列）。具体形式为： $$A = \begin{pmatrix} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ 其中 $a_i \neq 0$。这种结构类似于一个循环移位矩阵，但每个非零元素带有系数。

设 $A^{-1} = X = (x_{ij})$，则 $AX = I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。矩阵乘法 $AX$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\sum_{k=1}^n a_{ik} x_{kj}$。由于 $A$ 每行只有一个非零元素，我们可以逐行写出方程。

对于第1行：$A$ 的第1行只有 $a_{12}=a_1$，其余为0。因此 $AX$ 的第1行第 $j$ 列为 $a_1 x_{2j}$。令其等于 $\delta_{1j}$，得 $a_1 x_{2j} = \delta_{1j}$，所以 $x_{2j} = \frac{\delta_{1j}}{a_1}$。即 $x_{21} = 1/a_1$，且 $x_{2j}=0$ 当 $j\neq1$。 对于第2行：$A$ 的第2行只有 $a_{23}=a_2$，得 $a_2 x_{3j} = \delta_{2j}$，所以 $x_{3j} = \frac{\delta_{2j}}{a_2}$，即 $x_{32}=1/a_2$。 类似地，对于第 $i$ 行（$i=1,\dots,n-1$）：$a_i x_{i+1,j} = \delta_{ij}$，得 $x_{i+1,j} = \frac{\delta_{ij}}{a_i}$。因此 $x_{i+1,i}=1/a_i$，其余为0。 对于第 $n$ 行：$A$ 的第 $n$ 行只有 $a_{n1}=a_n$，得 $a_n x_{1j} = \delta_{nj}$，所以 $x_{1j} = \frac{\delta_{nj}}{a_n}$，即 $x_{1n}=1/a_n$。

根据上述推导，$X$ 的非零元素为： - $x_{21} = 1/a_1$ - $x_{32} = 1/a_2$ - ... - $x_{n,n-1} = 1/a_{n-1}$ - $x_{1n} = 1/a_n$ 其余元素均为0。

将非零元素填入矩阵，得到 $A^{-1}$ 为： $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{a_n} \\ \frac{1}{a_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{a_{n-1}} & 0 \end{pmatrix}$$ 可以验证 $A A^{-1} = I$。