北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
九．已知矩阵 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵，证明：
（1）$\displaystyle |A-\lambda B|=0$ 的根均大于等于 1 ．
（2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正定性进行合同变换
由于 $B$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T B P = I$。令 $C = P^T A P$，则 $C$ 是对称矩阵。
公式：$P^T B P = I$
提示：确保 $P$ 是可逆的，且变换是合同变换，保持对称性。
步骤 2/6
目标：转化半正定条件
由 $A-B$ 半正定，得 $P^T(A-B)P = C - I$ 半正定，即 $C \succeq I$。这意味着 $C$ 的所有特征值 $\lambda_i \geq 1$。
公式：$C - I \succeq 0$
提示：半正定矩阵的特征值非负，这里 $C-I$ 半正定推出 $C$ 的特征值不小于1。
步骤 3/6
目标：将特征方程化为标准形式
考虑 $|A-\lambda B|=0$，两边左乘 $|P^T|$ 右乘 $|P|$ 得 $|P^T(A-\lambda B)P| = |C - \lambda I| = 0$。
公式：$|P^T(A-\lambda B)P| = |C - \lambda I|$
提示：注意行列式的乘法性质：$|P^T||A-\lambda B||P| = |P^T(A-\lambda B)P|$。
步骤 4/6
目标：得出根的范围
方程 $|C - \lambda I|=0$ 的根正是 $C$ 的特征值，由步骤2知这些特征值均大于等于1，故 $\lambda \geq 1$。
提示：不要混淆 $\lambda$ 与特征值，这里 $\lambda$ 就是特征值。
步骤 5/6
目标：建立行列式关系
由 $P^T B P = I$ 得 $|P^T||B||P| = 1$，即 $|B| = |P^T P|^{-1}$。又 $C = P^T A P$，故 $|A| = |P^T|^{-1} |C| |P|^{-1} = |B| \cdot |C|$。
公式：$|A| = |B| \cdot |C|$
提示：注意 $|P^T| = |P|$，且 $|P^T P| = |P|^2$。
步骤 6/6
目标：利用特征值乘积证明不等式
由步骤2知 $C$ 的特征值 $\lambda_i \geq 1$，故 $|C| = \prod \lambda_i \geq 1$。代入 $|A| = |B| \cdot |C|$ 得 $|A| \geq |B|$。
公式：$|C| = \prod \lambda_i \geq 1$
提示：特征值乘积等于行列式，注意所有特征值均不小于1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。