北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七．$\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 。（具体数据忘了）
（1）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．
（2）求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基。
（3）证明：．．．．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并设定向量组
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 和 $\beta_1,\beta_2$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。$V_1 = L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$V_2 = L(\beta_1,\beta_2)$。
提示：注意向量空间是线性张成，基向量可能线性相关。
步骤 2/5
目标：求 $V_1+V_2$ 的维数和基
$V_1+V_2 = L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)$。将向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$ 按列排成矩阵 $A$，对 $A$ 进行初等行变换化为行最简形。非零行对应的列向量构成 $V_1+V_2$ 的一组基，非零行个数即为维数。
公式：$V_1+V_2 = \text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\}$
提示：行变换不改变列向量组的线性关系，但注意要取列向量作为基。
步骤 3/5
目标：求 $V_1 \cap V_2$ 的维数和基
设 $x \in V_1 \cap V_2$，则存在 $k_1,k_2,k_3$ 和 $l_1,l_2$ 使得 $x = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 = l_1\beta_1+l_2\beta_2$。于是 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$。将 $\alpha_i,\beta_j$ 按列排成矩阵 $B$，解齐次线性方程组 $B y = 0$，其中 $y = (k_1,k_2,k_3,l_1,l_2)^T$。得到基础解系，代入 $x = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$ 即得 $V_1 \cap V_2$ 的一组基，基础解系个数即为维数。
公式：$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$
提示：注意解齐次方程组时，系数矩阵的列是向量，行是分量。基础解系中每个解对应一个交空间中的向量。
步骤 4/5
目标：证明维数公式
由维数公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$。若 $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$，则 $\dim(V_1 \cap V_2) = 0$，故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$
提示：维数公式是线性空间理论的基本结论，注意前提是 $V_1,V_2$ 是有限维线性空间的子空间。
步骤 5/5
目标：总结
通过以上步骤，我们得到了 $V_1+V_2$ 和 $V_1 \cap V_2$ 的维数与基，并证明了维数相等时交空间为零空间。
提示：注意具体计算时需代入实际向量数据。
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