北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二．计算行列式
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & x & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & a_{2} & x & \cdots & a_{n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & x
\end{array}\right|, \text { 其中 } x \neq a_{i}(i=1,2, \cdots, n) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将第2至n列加到第1列
将行列式的第2列、第3列、...、第n列分别加到第1列上，得到新的行列式：
$$D=\left|\begin{array}{ccccc}
x+\sum_{i=2}^n a_i & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
x+\sum_{i=2}^n a_i & x & a_3 & \cdots & a_n \\
x+\sum_{i=2}^n a_i & a_2 & x & \cdots & a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x+\sum_{i=2}^n a_i & a_2 & a_3 & \cdots & x
\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意加和时第1列本身不变，其他列全部加到第1列，因此第1列每个元素变为原第1列元素加上其他列对应行元素之和。
步骤 2/5
目标：提取第1列公因子
第1列所有元素都含有公因子 $x+\sum_{i=2}^n a_i$，将其提取到行列式外面：
$$D=\left(x+\sum_{i=2}^n a_i\right)
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
1 & x & a_3 & \cdots & a_n \\
1 & a_2 & x & \cdots & a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & a_2 & a_3 & \cdots & x
\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：若一行（列）有公因子，可提取到行列式外。
提示：提取公因子后，第1列元素全部变为1。
步骤 3/5
目标：将第1行乘以-1加到其余各行
将第1行乘以-1后分别加到第2行、第3行、...、第n行，得到：
$$D=\left(x+\sum_{i=2}^n a_i\right)
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
0 & x-a_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x-a_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a_n
\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：将一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式值不变。
提示：注意第2行第2列元素变为 $x - a_2$，第3行第3列变为 $x - a_3$，以此类推，且第1列除第1行外均为0。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式的值
此时行列式是上三角行列式，其值等于主对角线上元素的乘积：
$$D = \left(x+\sum_{i=2}^n a_i\right) \cdot 1 \cdot (x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n).$$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素乘积。
提示：注意第1行第1列元素为1，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：整理最终结果
将结果写成简洁形式：
$$D = (x + a_2 + a_3 + \cdots + a_n) \prod_{i=2}^n (x - a_i).$$
注意原行列式中 $a_1$ 出现在第1列第2行，但经过变换后，结果中不含 $a_1$。实际上，若将第1列加到其他列，可得对称形式：
$$D = \left(x+\sum_{i=1}^n a_i - a_1\right)\prod_{j=2}^n (x-a_j).$$
提示：注意结果中 $a_1$ 没有出现，这是因为变换过程中 $a_1$ 被消去了。最终结果与 $a_1$ 无关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。