北京交通大学 2025年高等代数第0题

五．已知 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} . $$ $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X $$ 为标准型。