北京交通大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right), A+t E$ 正定，$t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解正定矩阵的判定条件
实对称矩阵正定的充要条件是所有顺序主子式大于0。矩阵 $A+tE$ 是实对称矩阵，因此只需检查其各阶顺序主子式。
提示：注意顺序主子式是从左上角开始依次取前k行和前k列构成的行列式。
步骤 2/7
目标：写出矩阵 $A+tE$
给定 $A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A+tE = \begin{pmatrix} 3+t & -2 & 0 \\ -2 & 2+t & -2 \\ 0 & -2 & 1+t \end{pmatrix}$。
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，$tE$ 只在主对角线上加 $t$。
步骤 3/7
目标：一阶顺序主子式大于0
一阶顺序主子式为 $3+t$，要求 $3+t > 0$，即 $t > -3$。
提示：不要忘记这个条件，后续要结合使用。
步骤 4/7
目标：二阶顺序主子式大于0
二阶顺序主子式为 $\begin{vmatrix} 3+t & -2 \\ -2 & 2+t \end{vmatrix} = (3+t)(2+t) - 4 = t^2 + 5t + 2$。解不等式 $t^2+5t+2 > 0$，得 $t < \frac{-5-\sqrt{17}}{2}$ 或 $t > \frac{-5+\sqrt{17}}{2}$。结合 $t > -3$，得 $t > \frac{-5+\sqrt{17}}{2}$（因为 $\frac{-5-\sqrt{17}}{2} \approx -4.56 < -3$）。
公式：二次不等式求解公式
提示：注意结合一阶条件缩小范围。
步骤 5/7
目标：三阶顺序主子式（行列式）大于0
计算 $\det(A+tE) = \begin{vmatrix} 3+t & -2 & 0 \\ -2 & 2+t & -2 \\ 0 & -2 & 1+t \end{vmatrix}$。按第一行展开：$(3+t)\begin{vmatrix} 2+t & -2 \\ -2 & 1+t \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 1+t \end{vmatrix} = (3+t)[(2+t)(1+t)-4] + 2[(-2)(1+t)-0] = (3+t)(t^2+3t-2) -4(1+t)$。
公式：行列式展开公式
提示：展开时注意符号，特别是 $(-2)$ 前面的负号。
步骤 6/7
目标：化简三阶行列式并因式分解
展开 $(3+t)(t^2+3t-2) -4(1+t) = 3t^2+9t-6 + t^3+3t^2-2t -4t-4 = t^3+6t^2+3t-10$。因式分解得 $t^3+6t^2+3t-10 = (t-1)(t^2+7t+10) = (t-1)(t+2)(t+5)$。要求大于0，即 $(t-1)(t+2)(t+5) > 0$，解得 $t > 1$ 或 $-5 < t < -2$。
公式：因式分解（试根法）
提示：因式分解时注意验证根，如 $t=1$ 代入为0。
步骤 7/7
目标：综合所有条件得出最终范围
结合一阶条件 $t > -3$，二阶条件 $t > \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \approx -0.438$，三阶条件 $t > 1$ 或 $-5 < t < -2$。取交集：$t > 1$ 满足所有条件（因为 $t > 1$ 自动满足 $t > -3$ 和 $t > -0.438$，且属于 $t > 1$ 区间）。而 $-5 < t < -2$ 不满足二阶条件（因为 $-5 < t < -2$ 中大部分小于 $-0.438$，且 $t > -3$ 与 $-5 < t < -2$ 的交集为 $-3 < t < -2$，但此时二阶条件要求 $t > -0.438$，矛盾）。因此最终 $t > 1$。
提示：取交集时注意数轴上的范围，避免遗漏。
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