北京交通大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个不变子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征值与特征向量
设线性变换 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$。由于特征值互异，特征向量线性无关。
提示：特征值互异是特征向量线性无关的充分条件。
步骤 2/6
目标：判断可对角化
由于 $\sigma$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，而 $V$ 是 $n$ 维空间，因此 $\sigma$ 可对角化。空间 $V$ 可分解为特征子空间的直和：$V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_n}$，其中每个 $V_{\lambda_i}$ 是一维子空间。
公式：$V = \bigoplus_{i=1}^n V_{\lambda_i}$
提示：注意特征子空间是一维的，因为特征值互异且空间维数为 $n$。
步骤 3/6
目标：不变子空间的条件
设 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，即 $\sigma(W) \subseteq W$。对任意 $\alpha \in W$，可唯一表示为 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$，其中 $\alpha_i \in V_{\lambda_i}$。则 $\sigma(\alpha) = \lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_n \alpha_n \in W$。
公式：$\sigma(\alpha) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha_i$
提示：注意特征子空间是 $\sigma$ 的不变子空间，但一般不变子空间可能由多个特征子空间直和而成。
步骤 4/6
目标：推导不变子空间的结构
由于特征值互异，我们可以通过线性组合消去其他分量。例如，考虑 $\sigma(\alpha) - \lambda_1 \alpha = (\lambda_2-\lambda_1)\alpha_2 + \cdots + (\lambda_n-\lambda_1)\alpha_n \in W$。重复此过程，可得到每个 $\alpha_i \in W$。因此 $W$ 是某些 $V_{\lambda_i}$ 的直和。
提示：关键步骤：利用特征值的不同，通过线性组合分离出每个分量。
步骤 5/6
目标：建立子集对应关系
因此，$\sigma$ 的不变子空间与集合 $\{1,2,\dots,n\}$ 的子集一一对应：每个子集 $S \subseteq \{1,\dots,n\}$ 对应不变子空间 $\bigoplus_{i \in S} V_{\lambda_i}$。特别地，空集对应零子空间，全集对应全空间 $V$。
公式：$W_S = \bigoplus_{i \in S} V_{\lambda_i}$
提示：注意零子空间和全空间也是不变子空间。
步骤 6/6
目标：计算不变子空间个数
子集个数为 $2^n$，因此不变子空间的个数为 $2^n$。
公式：$\text{个数} = 2^n$
提示：不要忘记零子空间和全空间。
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