北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三．已知非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
2 x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+4 x_{4}=-1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+p x_{3}+7 x_{4}=-1 \\
x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-x_{4}=t
\end{array}\right.
$$
有无穷多解，求 $\displaystyle p, t$ 的值与方程组的通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解无穷多解的条件
非齐次线性方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知量的个数，即 $r(A)=r(\bar{A})<4$。
公式：$r(A)=r(\bar{A})
提示：注意区分无解、唯一解和无穷多解的条件：无解时 $r(A)
步骤 2/6
目标：写出增广矩阵并初等行变换
写出增广矩阵 $\bar{A}$，并进行初等行变换：
$$\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -6 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & p & 7 & -1 \\ 1 & -1 & -6 & -1 & t \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1, R_4-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & p+6 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -4 & -4 & t \end{pmatrix}$$
提示：初等行变换时注意符号，特别是第三行减去3倍第一行时，第三列：$p-3\times(-2)=p+6$，不要算错。
步骤 3/6
目标：继续化简阶梯形
继续行变换：
$$\xrightarrow{R_3-R_2, R_4-2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & p+8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & t+2 \end{pmatrix}$$
提示：注意 $R_4-2R_2$ 时，最后一列：$t-2\times(-1)=t+2$，不要写成 $t-2$。
步骤 4/6
目标：确定参数使秩相等且小于4
由阶梯形矩阵，系数矩阵的秩取决于第三行和第四行。要使 $r(A)=r(\bar{A})<4$，需第三行全零且第四行全零，即 $p+8=0$ 且 $t+2=0$，解得 $p=-8$, $t=-2$。此时秩为2。
提示：注意：如果 $p+8\neq0$，则秩为3，但第四行可能非零导致秩不等；如果 $t+2\neq0$，则增广矩阵秩为3或4，但系数矩阵秩可能为2或3，需具体分析。这里要求无穷多解，必须同时为零。
步骤 5/6
目标：代入参数得到简化方程组
将 $p=-8$, $t=-2$ 代入，阶梯形矩阵变为：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
对应的方程组为：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 0 \\ -x_2 - 2x_3 - 2x_4 = -1 \end{cases}$$
提示：注意：第二行乘以-1可化为 $x_2+2x_3+2x_4=1$，但这里保持原样以便后续计算。
步骤 6/6
目标：求解方程组得到通解
取 $x_3=c_1$, $x_4=c_2$ 为自由变量。由第二方程：$-x_2-2c_1-2c_2=-1$，得 $x_2=1-2c_1-2c_2$。代入第一方程：$x_1+(1-2c_1-2c_2)-2c_1+3c_2=0$，即 $x_1+1-4c_1+c_2=0$，得 $x_1=-1+4c_1-c_2$。因此通解为：
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}.$$
提示：注意：自由变量的选取不唯一，但通解形式等价。检查特解：令 $c_1=c_2=0$，得 $(-1,1,0,0)$，代入原方程验证。
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