北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & a^{2} \\ \frac{1}{a} & 0 & a \\ \frac{1}{a^{2}} & \frac{1}{a} & 0\end{array}\right)$ ，求三阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\Lambda$ ，且求 $\displaystyle A^{n}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵结构
观察矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & a & a^2 \\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^2 & 1/a & 0 \end{pmatrix}$，发现其每一行是前一行乘以 $1/a$ 的循环移位，属于反循环矩阵。反循环矩阵可被傅里叶矩阵对角化。
提示：注意矩阵元素规律，避免误判为普通循环矩阵。
步骤 2/6
目标：求特征值
设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则特征值 $\lambda_k = a \omega^k + a^2 \omega^{2k}$，$k=0,1,2$。计算得：
- $\lambda_0 = a + a^2$
- $\lambda_1 = a\omega + a^2\omega^2$
- $\lambda_2 = a\omega^2 + a^2\omega$
公式：反循环矩阵的特征值公式：$\lambda_k = \sum_{j=0}^{n-1} c_j \omega^{jk}$，其中 $c_j$ 为第一行元素。
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，满足 $1+\omega+\omega^2=0$，$\omega^3=1$。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵P
特征向量为 $v_k = (1, \omega^k, \omega^{2k})^T$。取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix}$，则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2)$。
公式：傅里叶矩阵：$F_{jk} = \omega^{jk}$。
提示：注意列顺序对应 $k=0,1,2$，且 $P$ 的逆有简单形式。
步骤 4/6
目标：求P的逆矩阵
由于 $P$ 是傅里叶矩阵的变体，其逆为 $P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{pmatrix}$。验证：$P^{-1}P = I$。
公式：傅里叶矩阵的逆：$F^{-1} = \frac{1}{n} \bar{F}$。
提示：注意共轭位置：$\omega$ 的共轭是 $\omega^2$。
步骤 5/6
目标：计算A的n次幂
由 $A = P\Lambda P^{-1}$，得 $A^n = P\Lambda^n P^{-1}$，其中 $\Lambda^n = \operatorname{diag}(\lambda_0^n, \lambda_1^n, \lambda_2^n)$。代入 $P$ 和 $P^{-1}$ 计算矩阵乘法。
公式：相似对角化：$A^n = P \Lambda^n P^{-1}$。
提示：注意矩阵乘法顺序，先乘 $\Lambda^n$ 再乘 $P^{-1}$。
步骤 6/6
目标：写出A^n的表达式
计算得 $A^n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} \lambda_0^n + \lambda_1^n + \lambda_2^n & \lambda_0^n + \omega^2 \lambda_1^n + \omega \lambda_2^n & \lambda_0^n + \omega \lambda_1^n + \omega^2 \lambda_2^n \\ \lambda_0^n + \omega \lambda_1^n + \omega^2 \lambda_2^n & \lambda_0^n + \lambda_1^n + \lambda_2^n & \lambda_0^n + \omega^2 \lambda_1^n + \omega \lambda_2^n \\ \lambda_0^n + \omega^2 \lambda_1^n + \omega \lambda_2^n & \lambda_0^n + \omega \lambda_1^n + \omega^2 \lambda_2^n & \lambda_0^n + \lambda_1^n + \lambda_2^n \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵元素的对称性，可简化计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。