北京交通大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：假设可约，分解因式
设 $f(x)$ 在有理数域上可约。由于 $f(x)$ 是首一多项式且系数为整数（因为 $k_i$ 是整数），由高斯引理，$f(x)$ 可分解为两个整系数多项式的乘积：$f(x)=g(x)h(x)$，其中 $\deg g, \deg h \ge 1$，且 $g(x), h(x)$ 为首一整系数多项式。
公式：f(x)=g(x)h(x)
提示：注意高斯引理的应用条件：多项式是整系数的，且分解在有理数域上可约则存在整系数分解。
步骤 2/6
目标：必要性：利用特殊点得到等式
对于每个 $i=1,\dots,n$，有 $f(k_i)=1$，所以 $g(k_i)h(k_i)=1$。由于 $g(k_i), h(k_i)$ 都是整数，因此 $g(k_i)=h(k_i)=\pm 1$。
公式：g(k_i)h(k_i)=1
提示：注意 $k_i$ 是整数，代入后得到整数值，乘积为1意味着每个因子都是±1。
步骤 3/6
目标：必要性：证明两个多项式相等
考虑多项式 $g(x)-h(x)$，它在 $n$ 个不同的点 $k_i$ 处取值为0（因为 $g(k_i)=h(k_i)$），但 $\deg(g-h) < n$（因为 $\deg g, \deg h < n$），所以 $g(x)-h(x)$ 恒为零，即 $g(x)=h(x)$。
公式：g(x)-h(x)=0
提示：注意次数条件：$\deg g + \deg h = n$，且两者次数都至少为1，因此 $\deg g, \deg h \le n-1$，从而 $\deg(g-h) \le n-1 < n$。
步骤 4/6
目标：必要性：得到完全平方形式
于是 $f(x)=[g(x)]^2$，即 $f(x)$ 是完全平方。
公式：f(x)=[g(x)]^2
提示：注意 $g(x)$ 是整系数多项式，因此 $f(x)$ 是整系数多项式的完全平方。
步骤 5/6
目标：充分性：若为完全平方则可约
若 $f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方，即 $f(x)=[g(x)]^2$，其中 $g(x)$ 是整系数多项式。由于 $n>2$，$\deg f=n$，所以 $\deg g = n/2 \ge 1$，因此 $f(x)$ 有非平凡因式 $g(x)$，故在有理数域上可约。
提示：注意 $n>2$ 保证 $n/2 \ge 1$，即 $g(x)$ 不是常数。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上，$f(x)$ 在有理数域上可约当且仅当 $f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方。
提示：注意必要性的证明中利用了 $n>2$ 的条件，但充分性中也需要 $n>2$ 来保证 $g(x)$ 次数非零。
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