北京交通大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
计算 $|\lambda I - A|$：
$$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & 0 & -8 \\ -3 & \lambda+1 & -6 \\ 2 & 0 & \lambda+5 \end{vmatrix} = (\lambda+1)\begin{vmatrix} \lambda-3 & -8 \\ 2 & \lambda+5 \end{vmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+5)+16] = (\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1) = (\lambda+1)^3.$$
公式：$|\lambda I - A| = (\lambda+1)^3$
提示：按第二列展开可简化计算，注意符号。
步骤 2/7
目标：确定特征值及其代数重数
由特征多项式得特征值为 $\lambda = -1$，代数重数为 3。
提示：代数重数是特征根的重数。
步骤 3/7
目标：求特征向量（几何重数）
解 $(A+I)x=0$：
$$A+I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
基础解系为 $\alpha_1=(-2,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，几何重数为 2。
提示：行简化时注意第三行是第二行的倍数，秩为1。
步骤 4/7
目标：确定Jordan块结构
代数重数3，几何重数2，故Jordan块为两个：一个2阶，一个1阶。
提示：几何重数小于代数重数时需考虑广义特征向量。
步骤 5/7
目标：求广义特征向量
计算 $(A+I)^2$：
$$(A+I)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
取 $\beta=(1,0,0)^T$，则 $(A+I)\beta=(4,3,-2)^T$，该向量是特征向量（因为 $4+2\times(-2)=0$，且与 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性相关）。
提示：$(A+I)^2=0$ 说明任意向量都是广义特征向量，但需选择使 $(A+I)\beta \neq 0$ 的向量。
步骤 6/7
目标：写出Jordan标准型
Jordan标准型为：
$$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$
提示：2阶Jordan块对应特征值-1，1阶Jordan块也对应-1。
步骤 7/7
目标：确定最小多项式
最大Jordan块大小为2，故最小多项式为 $(\lambda+1)^2$。
公式：$m(\lambda) = (\lambda+1)^2$
提示：最小多项式由最大Jordan块阶数决定。
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