北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别分块矩阵结构
已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 是 $1 \times n$ 矩阵。题目给出两个分块矩阵：$\begin{pmatrix} A & \beta \\ \alpha & 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} A & \beta \\ \alpha & 4 \end{pmatrix}$。我们需要利用第一个行列式为零的条件求出第二个行列式的值。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：$A$ 是 $n \times n$，$\beta$ 是 $n \times 1$，$\alpha$ 是 $1 \times n$，右下角元素是标量。
步骤 2/5
目标：应用分块矩阵行列式公式
对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，若 $A$ 可逆，则 $\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(D - C A^{-1} B)$。这里 $A$ 可逆因为 $|A|=2 \neq 0$。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)$
提示：公式成立的前提是 $A$ 可逆。如果 $A$ 不可逆，则需要使用其他方法（如Schur补）。
步骤 3/5
目标：计算第一个行列式
代入 $B = \beta$, $C = \alpha$, $D = 1$，得 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right| = |A| \cdot (1 - \alpha A^{-1} \beta) = 2(1 - \alpha A^{-1} \beta)$。已知该行列式为 $0$，所以 $2(1 - \alpha A^{-1} \beta) = 0$，解得 $\alpha A^{-1} \beta = 1$。
提示：注意 $\alpha A^{-1} \beta$ 是一个标量，因为 $\alpha$ 是行向量，$A^{-1}$ 是 $n \times n$，$\beta$ 是列向量，乘积是 $1 \times 1$。
步骤 4/5
目标：计算第二个行列式
同样利用公式，对于 $\begin{pmatrix} A & \beta \\ \alpha & 4 \end{pmatrix}$，有 $D=4$，所以 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right| = |A| \cdot (4 - \alpha A^{-1} \beta) = 2 \cdot (4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6$。
提示：注意 $\alpha A^{-1} \beta$ 的值已由第一步求出，直接代入即可。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right| = 6$。
提示：最终答案是一个数值，无需进一步化简。
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