📝 北京工业大学 2015年高等代数真题

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

2．若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 合同，且 $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为 3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{array}\right)$ ，齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数为 2 ，则 $t=$ 4．设 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，$|A|=2,|B|=-4$ ，则 $\left|A^{*} B^{-1}-A^{-1} B^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$

5．如果 $\left|\begin{array}{cccc}x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-3 & 1 & 4 \\ -1 & -9 & x-1 & -16 \\ -1 & -27 & 1 & x+64\end{array}\right|$ 的四个根是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（
（A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ；
（B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ；
（C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ；
（D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

2．已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,2,-1$ ，则行列式 $\left|A^{2}+A+E\right|$ 的值为（
（A） 1
（B） 0
（C） 7
（D） 14

3．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 分别是方阵 $A$ 的两个不同特征值，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 分别是它们对应的特征向量，

则向量组 $\alpha_{1}, A\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是
（A）$\lambda_{1} \neq 0$ ；
（B）$\lambda_{2} \neq 0$ ；
（C）$\lambda_{1}=0$ ；
（D）$\lambda_{2}=0$ ．

4．设 $A, C$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，而实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $A X+X A=C$ 的唯一解，则（
（A）$B$ 是正定矩阵；
（B）$B$ 是半正定矩阵；
（C）$B$ 是负定矩阵；
（D）无法确定 $B$ 的正、负定性。

5．实二次型f $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 经过非退化线性替换 $X=C Y$ 可化成规范形 $f\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}^{2}\right)=y_{1}^{2}$ ，则 $a$ 的值为（
（A） 1 ；
（B）-2 ；
（C）-1 ；
（D） 2