北京工业大学 2015年高等代数第0题

给定实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$，其矩阵 $A$ 是对称矩阵，对角线元素为 $a$，非对角线元素为 $2$（因为 $4x_ix_j$ 对应 $a_{ij}=a_{ji}=2$）。所以 $A=\begin{pmatrix} a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \end{pmatrix}$。

二次型经过非退化线性替换化为规范形 $y_1^2$，说明二次型的秩为1，正惯性指数为1，负惯性指数为0。因此矩阵 $A$ 的特征值应为一个正数，两个零。

计算 $\det(\lambda I - A)=\begin{vmatrix} \lambda-a & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-a & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-a \end{vmatrix}$。令 $t=\lambda-a$，则行列式为 $\begin{vmatrix} t & -2 & -2 \\ -2 & t & -2 \\ -2 & -2 & t \end{vmatrix}$。按第一行展开：$t(t^2-4)-(-2)(-2t-4)+(-2)(4+2t)=t^3-4t-4t-8-8-4t=t^3-12t-16$。所以特征多项式为 $\det(\lambda I - A)= (\lambda-a)^3 -12(\lambda-a)-16$。

由于特征值有0，代入 $\lambda=0$ 得 $\det(-A)=(-a)^3 -12(-a)-16 = -a^3+12a-16=0$，即 $a^3-12a+16=0$。因式分解：$(a-2)(a^2+2a-8)=0$，解得 $a=2$ 或 $a=-4$（$a^2+2a-8=0$ 的解为 $a=-4$ 或 $a=2$，重根）。

当 $a=2$ 时，矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$。计算特征值：由于矩阵各行成比例，秩为1，非零特征值为迹 $2+2+2=6$，其余两个为0。特征值为 $6,0,0$，正惯性指数为1，符合规范形 $y_1^2$。

当 $a=-4$ 时，矩阵 $A=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}$。计算特征值：特征多项式为 $(\lambda+4)^3-12(\lambda+4)-16$，代入 $\lambda=0$ 得 $0$，但其他特征值？可计算得特征值为 $0, -6, -6$（因为迹为-12，一个0，另两个和为-12，且由对称性可得）。正惯性指数为0，不符合规范形 $y_1^2$。因此舍去。

只有 $a=2$ 满足条件，因此答案为选项D。