北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
5．如果 $\left|\begin{array}{cccc}x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-3 & 1 & 4 \\ -1 & -9 & x-1 & -16 \\ -1 & -27 & 1 & x+64\end{array}\right|$ 的四个根是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别问题类型
题目给出一个4阶行列式，其四个根为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$，要求四个根的乘积。行列式是关于 $x$ 的多项式，四个根即多项式等于0的解。由韦达定理，多项式常数项等于 $(-1)^4$ 乘以根的乘积，即 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4$ 等于 $x=0$ 时的行列式值。
公式：对于多项式 $p(x)=a_n x^n+\cdots+a_0$，若根为 $r_1,\ldots,r_n$，则 $a_0 = a_n (-1)^n \prod r_i$。此处 $a_4=1$，$n=4$，故 $\prod \lambda_i = p(0)$。
提示：注意行列式是 $x$ 的多项式，最高次项系数为1，因此常数项直接等于根的乘积。
步骤 2/7
目标：代入 $x=0$ 计算行列式
将 $x=0$ 代入原行列式：
$$
|A|_{x=0} = \begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & -3 & 1 & 4 \\
-1 & -9 & -1 & -16 \\
-1 & -27 & 1 & 64
\end{vmatrix}.
$$
提示：代入时注意符号，尤其是第四行第四列 $x+64$ 变为 $64$。
步骤 3/7
目标：提取第一行公因子
第一行所有元素都是 $-1$，提取公因子 $-1$：
$$
|A|_{x=0} = (-1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & -3 & 1 & 4 \\
-1 & -9 & -1 & -16 \\
-1 & -27 & 1 & 64
\end{vmatrix}.
$$
公式：行列式某行公因子可提出：$|k\cdot \text{row}| = k|\text{row}|$。
提示：注意提取后行列式前面有负号。
步骤 4/7
目标：行变换简化行列式
将第一行乘以1加到第二、三、四行，使第一列除第一行外全为0：
$$
\begin{aligned}
&\text{第二行：} (-1)+1=0,\quad (-3)+1=-2,\quad 1+1=2,\quad 4+1=5 \\
&\text{第三行：} (-1)+1=0,\quad (-9)+1=-8,\quad (-1)+1=0,\quad (-16)+1=-15 \\
&\text{第四行：} (-1)+1=0,\quad (-27)+1=-26,\quad 1+1=2,\quad 64+1=65
\end{aligned}
$$
得到：
$$
|A|_{x=0} = - \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 2 & 5 \\
0 & -8 & 0 & -15 \\
0 & -26 & 2 & 65
\end{vmatrix}.
$$
公式：行变换不改变行列式值：$R_i \leftarrow R_i + kR_j$。
提示：只对第二、三、四行操作，第一行不变。
步骤 5/7
目标：按第一列展开
按第一列展开，只有第一个元素非零，余子式为三阶行列式：
$$
|A|_{x=0} = - \left( 1 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 2 & 5 \\
-8 & 0 & -15 \\
-26 & 2 & 65
\end{vmatrix} \right) = - \begin{vmatrix}
-2 & 2 & 5 \\
-8 & 0 & -15 \\
-26 & 2 & 65
\end{vmatrix}.
$$
公式：按第一列展开：$|A| = \sum_{i} a_{i1} C_{i1}$，此处 $a_{11}=1$，其余为0。
提示：注意符号：$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}$，所以直接是余子式。
步骤 6/7
目标：计算三阶行列式
使用公式计算三阶行列式：
$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
-2 & 2 & 5 \\
-8 & 0 & -15 \\
-26 & 2 & 65
\end{vmatrix}
&= (-2) \begin{vmatrix} 0 & -15 \\ 2 & 65 \end{vmatrix}
- 2 \begin{vmatrix} -8 & -15 \\ -26 & 65 \end{vmatrix}
+ 5 \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ -26 & 2 \end{vmatrix} \\
&= (-2)(0\cdot65 - (-15)\cdot2) - 2((-8)\cdot65 - (-15)\cdot(-26)) + 5((-8)\cdot2 - 0\cdot(-26)) \\
&= (-2)(0+30) - 2(-520 - 390) + 5(-16) \\
&= (-2)\cdot30 - 2(-910) - 80 \\
&= -60 + 1820 - 80 = 1680.
\end{aligned}
$$
公式：三阶行列式展开：$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$。
提示：注意符号：展开时第二项系数为负，但此处按第一行展开，第二列元素2的代数余子式为 $(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}$，所以公式中为 $-2M_{12}$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此 $|A|_{x=0} = -1680$，所以 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4 = -1680$。
提示：注意前面有负号，最终乘积为负。
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