北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A, C$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，而实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $A X+X A=C$ 的唯一解，则（
（A）$B$ 是正定矩阵；
（B）$B$ 是半正定矩阵；
（C）$B$ 是负定矩阵；
（D）无法确定 $B$ 的正、负定性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明解的唯一性及对称性
由于 $A$ 正定，其特征值均为正数。考虑线性变换 $\mathcal{L}(X) = AX + XA$，这是一个从对称矩阵空间到自身的线性映射。$\mathcal{L}$ 的特征值为 $\lambda_i + \lambda_j > 0$（$\lambda_i, \lambda_j$ 为 $A$ 的特征值），故 $\mathcal{L}$ 可逆，方程 $AX + XA = C$ 有唯一解 $B$。对方程两边取转置，利用 $A^T = A$，$C^T = C$，得 $B^T A + A B^T = C$，所以 $B^T$ 也是解，由唯一性知 $B^T = B$，即 $B$ 对称。
公式：\mathcal{L}(X) = AX + XA
提示：注意 $A$ 和 $C$ 的对称性，以及线性变换可逆的条件。
步骤 2/5
目标：合同变换化简方程
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = I$（合同变换，将 $A$ 化为单位矩阵）。令 $\tilde{B} = P^T B P$，$\tilde{C} = P^T C P$。将原方程 $AB + BA = C$ 两边左乘 $P^T$、右乘 $P$，得 $P^T A B P + P^T B A P = P^T C P$。利用 $P^T A P = I$，并插入 $P P^{-1}$ 等技巧，可化为 $I \tilde{B} + \tilde{B} I = \tilde{C}$，即 $2\tilde{B} = \tilde{C}$。
公式：P^T A P = I, \quad \tilde{B} = P^T B P, \quad \tilde{C} = P^T C P
提示：注意合同变换下方程的形式变化，确保每一步矩阵乘法维度匹配。
步骤 3/5
目标：求解变换后的方程
由 $2\tilde{B} = \tilde{C}$ 得 $\tilde{B} = \frac{1}{2} \tilde{C}$。由于 $C$ 正定，$\tilde{C} = P^T C P$ 也是正定矩阵（合同变换保持正定性），因此 $\tilde{B}$ 正定。
公式：\tilde{B} = \frac{1}{2} \tilde{C}
提示：正定矩阵经过合同变换后仍为正定矩阵。
步骤 4/5
目标：反推原矩阵的正定性
由于 $\tilde{B} = P^T B P$ 正定，且 $P$ 可逆，根据合同变换的性质，$B$ 与 $\tilde{B}$ 有相同的正定性，因此 $B$ 也是正定矩阵。
提示：合同变换不改变矩阵的正定性，但注意 $P$ 必须是可逆的。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，$B$ 是正定矩阵，故选项 (A) 正确。
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