北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
2．已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,2,-1$ ，则行列式 $\left|A^{2}+A+E\right|$ 的值为（
（A） 1
（B） 0
（C） 7
（D） 14
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解特征值与多项式的关系
设 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x}$，则 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$。对于多项式 $f(A)=A^2+A+E$，有 $f(A)\boldsymbol{x}=(\lambda^2+\lambda+1)\boldsymbol{x}$，因此 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)=\lambda^2+\lambda+1$。
公式：若 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则 $f(A)\boldsymbol{x}=f(\lambda)\boldsymbol{x}$
提示：注意多项式运算时，常数项 $E$ 对应特征值 $1$。
步骤 2/4
目标：代入已知特征值计算新特征值
已知 $A$ 的特征值为 $0,2,-1$，分别代入 $f(\lambda)=\lambda^2+\lambda+1$：
- 当 $\lambda=0$ 时，$f(0)=0^2+0+1=1$；
- 当 $\lambda=2$ 时，$f(2)=2^2+2+1=7$；
- 当 $\lambda=-1$ 时，$f(-1)=(-1)^2+(-1)+1=1$。
因此 $A^2+A+E$ 的特征值为 $1,7,1$。
公式：$f(\lambda)=\lambda^2+\lambda+1$
提示：计算 $(-1)^2$ 时注意符号，结果为 $1$。
步骤 3/4
目标：利用特征值求行列式
方阵的行列式等于其所有特征值的乘积。$A^2+A+E$ 是3阶方阵，有3个特征值 $1,7,1$，故行列式为 $1 \times 7 \times 1 = 7$。
公式：$\det(B)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $B$ 的特征值
提示：特征值需考虑重数，这里特征值1出现两次，乘积中要乘两次。
步骤 4/4
目标：选择正确答案
计算得到行列式值为 $7$，对应选项（C）。
提示：注意选项（A）1，（B）0，（C）7，（D）14，不要混淆。
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