北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（
（A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ；
（B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ；
（C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ；
（D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $m < n$，满足 $AB = E_m$，其中 $E_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵。
提示：注意矩阵乘法的维度：$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数，乘积为 $m \times m$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：计算乘积的秩
由 $AB = E_m$，两边取秩得 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(E_m) = m$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(E_m) = m$
提示：单位矩阵的秩等于其阶数。
步骤 3/6
目标：应用秩的不等式
利用秩的不等式 $\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$，得到 $m \leq \operatorname{rank}(A)$ 且 $m \leq \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
提示：注意不等式方向：乘积的秩不超过每个因子的秩。
步骤 4/6
目标：考虑矩阵秩的上界
由于 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不超过行数 $m$，即 $\operatorname{rank}(A) \leq m$；$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，其秩不超过列数 $m$，即 $\operatorname{rank}(B) \leq m$。
公式：$\operatorname{rank}(A) \leq m$，$\operatorname{rank}(B) \leq m$
提示：矩阵的秩不超过其行数和列数中的较小者。
步骤 5/6
目标：综合得出秩的值
由 $m \leq \operatorname{rank}(A) \leq m$ 得 $\operatorname{rank}(A) = m$；同理 $\operatorname{rank}(B) = m$。
提示：注意夹逼关系，得到精确值。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
因此秩 $(A)=m$，秩 $(B)=m$，对应选项 (A)。
提示：确认选项中的字母与题目一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。