北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
2．若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 合同，且 $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为 3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{array}\right)$ ，齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数为 2 ，则 $t=$ 4．设 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，$|A|=2,|B|=-4$ ，则 $\left|A^{*} B^{-1}-A^{-1} B^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析矩阵B的特征值，确定惯性指数
矩阵 $B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix}\lambda & -1 & 0 \\ -1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda^2-1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$，特征值为 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=-1$（单重）。因此正惯性指数为2，负惯性指数为1。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - B)=0$
提示：注意特征值的重数，惯性指数由正负特征值的个数决定。
步骤 2/7
目标：利用合同关系确定A的惯性指数
由于 $A$ 与 $B$ 合同，合同变换保持惯性指数不变，所以 $A$ 的正惯性指数也为2，负惯性指数为1。因此二次型 $X^T A X$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$。
公式：合同变换下惯性指数不变
提示：合同不改变正负惯性指数，但可能改变特征值。
步骤 3/7
目标：根据解空间维数确定矩阵A的秩
齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数为 $n-\operatorname{rank}(A)$，其中 $n=3$（未知数个数）。已知维数为2，所以 $3-\operatorname{rank}(A)=2$，解得 $\operatorname{rank}(A)=1$。
公式：解空间维数 $= n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意矩阵A是3×4矩阵，但未知数个数为3，因为方程个数为3。
步骤 4/7
目标：对矩阵A进行初等行变换求秩
对 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{pmatrix}$ 作行变换：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_1} \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 0 & t-2 & -1 & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-(t-2)R_2} \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 0 & 0 & -1-(t-2)t & -1-(t-2)\end{pmatrix}$。
化简第三行：$-1-(t-2)t = -1 - t^2 + 2t = -t^2+2t-1 = -(t-1)^2$，常数项：$-1-(t-2) = -t+1 = -(t-1)$。所以第三行为 $(0,0,-(t-1)^2, -(t-1))$。
公式：初等行变换不改变矩阵的秩
提示：行变换过程中注意符号，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：令第三行为零行，求解t
要使秩为1，第三行必须全为零，即 $-(t-1)^2=0$ 且 $-(t-1)=0$，解得 $t=1$。
提示：注意两个条件必须同时满足，否则秩可能大于1。
步骤 6/7
目标：利用伴随矩阵公式化简表达式
由公式 $A^* = |A| A^{-1}$，$B^* = |B| B^{-1}$，代入得：
$A^* B^{-1} - A^{-1} B^* = |A| A^{-1} B^{-1} - A^{-1} |B| B^{-1} = A^{-1} (|A| I - |B| I) B^{-1} = (|A|-|B|) A^{-1} B^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^{-1}$与$B^{-1}$不可交换。
步骤 7/7
目标：计算行列式的值
行列式 $|A^* B^{-1} - A^{-1} B^*| = |(|A|-|B|) A^{-1} B^{-1}| = (|A|-|B|)^n |A^{-1}| |B^{-1}| = (|A|-|B|)^n \frac{1}{|A|} \frac{1}{|B|}$。代入 $|A|=2, |B|=-4$，得 $(2-(-4))^n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-4} = 6^n \cdot (-\frac{1}{8}) = -\frac{6^n}{8}$。
公式：$|kA| = k^n |A|$，$|A^{-1}| = 1/|A|$
提示：注意行列式的乘法性质，以及$|A^{-1}|$的计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。