北京工业大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 分别是方阵 $A$ 的两个不同特征值，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 分别是它们对应的特征向量，
则向量组 $\alpha_{1}, A\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是
（A）$\lambda_{1} \neq 0$ ；
（B）$\lambda_{2} \neq 0$ ；
（C）$\lambda_{1}=0$ ；
（D）$\lambda_{2}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出已知条件
已知 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，且 $A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$。
提示：注意特征值和特征向量的定义，不同特征值对应的特征向量线性无关。
步骤 2/6
目标：计算 $A(\alpha_1+\alpha_2)$
由线性性质，$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$。
公式：$A(\alpha_1+\alpha_2) = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$
提示：注意矩阵乘法对加法的分配律。
步骤 3/6
目标：建立线性相关条件
设存在不全为零的 $k_1, k_2$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 (\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2) = 0$，整理得 $(k_1 + k_2 \lambda_1)\alpha_1 + k_2 \lambda_2 \alpha_2 = 0$。
公式：$(k_1 + k_2 \lambda_1)\alpha_1 + k_2 \lambda_2 \alpha_2 = 0$
提示：注意合并同类项时不要遗漏系数。
步骤 4/6
目标：利用特征向量线性无关性
由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，$\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关，因此系数必须全为零：
\[
\begin{cases}
k_1 + k_2 \lambda_1 = 0 \\
k_2 \lambda_2 = 0
\end{cases}
\]
提示：不同特征值对应的特征向量线性无关是重要结论。
步骤 5/6
目标：分析方程组解的情况
要使 $\alpha_1$ 与 $A(\alpha_1+\alpha_2)$ 线性无关，则方程组只有零解 $k_1=k_2=0$。
- 若 $\lambda_2 \neq 0$，则 $k_2=0$，代入第一式得 $k_1=0$，只有零解，线性无关。
- 若 $\lambda_2 = 0$，则第二式恒成立，取 $k_2=1$，则 $k_1 = -\lambda_1$，存在非零解，线性相关。
提示：注意 $\lambda_2=0$ 时，$k_2$ 可以任意，导致非零解。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$\alpha_1$ 与 $A(\alpha_1+\alpha_2)$ 线性无关的充要条件是 $\lambda_2 \neq 0$，对应选项 (B)。
提示：注意区分 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的作用，只有 $\lambda_2$ 是关键。
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