北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则
$A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用代数余子式的性质转化问题
根据代数余子式的性质，对于矩阵 $A$，表达式 $A_{11}+2A_{12}-A_{13}-A_{14}$ 等于将 $A$ 的第一行元素替换为 $(1,2,-1,-1)$ 后所得行列式的值。即构造新矩阵 $B$，其第一行为 $(1,2,-1,-1)$，其余行与 $A$ 相同，则 $\det(B) = A_{11}+2A_{12}-A_{13}-A_{14}$。
公式：若 $B$ 是将 $A$ 的第 $i$ 行替换为 $(c_1,c_2,\dots,c_n)$ 得到的矩阵，则 $\det(B) = \sum_{j=1}^n c_j A_{ij}$。
提示：注意代数余子式 $A_{ij}$ 带有符号 $(-1)^{i+j}$，但这里直接使用性质，无需单独计算每个余子式。
步骤 2/7
目标：写出新矩阵并开始计算行列式
新矩阵为：
$$
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
2 & 5 & 0 & 0 \\
1 & 3 & -1 & -1 \\
7 & -4 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$$
我们计算 $\det(B)$。
提示：注意原矩阵 $A$ 的第一行是 $(4,6,7,3)$，替换后第一行变为 $(1,2,-1,-1)$。
步骤 3/7
目标：利用行变换简化行列式
将第一行乘以 $-2$ 加到第二行，乘以 $-1$ 加到第三行，乘以 $-7$ 加到第四行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -18 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
这些行变换不改变行列式的值。
公式：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意变换时只改变目标行，第一行保持不变。
步骤 4/7
目标：按第一列展开
由于第一列只有第一个元素非零，按第一列展开，得到：
$$
\det(B) = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
-18 & 8 & 9
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
-18 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
公式：行列式按第 $i$ 行展开：$\det = \sum_{j} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
提示：注意符号：$(-1)^{1+1}=1$，所以直接去掉第一行第一列。
步骤 5/7
目标：再次按第二行展开
对于三阶行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -18 & 8 & 9 \end{vmatrix}$，第二行只有第一个元素非零，按第二行展开：
$$
\det = 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}
$$
公式：同上。
提示：注意 $(-1)^{2+1} = -1$，所以前面有负号。
步骤 6/7
目标：计算二阶行列式
计算二阶行列式：
$$
\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 2 \cdot 9 - 2 \cdot 8 = 18 - 16 = 2
$$
因此原行列式值为 $-2$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：注意符号：结果是 $-2$，不是 $2$。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
所以 $A_{11}+2A_{12}-A_{13}-A_{14} = -2$。
提示：最终答案应填入空格。
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