北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
2．把复数域看成它自身上的线性空间，它的维数是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：复数域作为自身上的线性空间
题目要求将复数域 $\mathbb{C}$ 视为它自身上的线性空间，即考虑 $\mathbb{C}$ 作为 $\mathbb{C}$-向量空间。此时，数乘运算为复数乘法，加法为复数加法。我们需要确定这个向量空间的维数。
提示：注意区分复数域作为实数域上的向量空间（维数为2）和作为自身上的向量空间（维数为1）。
步骤 2/5
目标：寻找一组基：考虑生成元
在 $\mathbb{C}$-向量空间中，任意向量 $z \in \mathbb{C}$ 可以表示为 $z = a \cdot 1$，其中 $a \in \mathbb{C}$。这是因为复数乘法中，$a \cdot 1 = a$，所以 $1$ 可以生成整个空间。因此，集合 $\{1\}$ 是一个生成集。
公式：$z = a \cdot 1$
提示：注意数乘中的标量 $a$ 是复数，而不是实数。
步骤 3/5
目标：验证线性无关性
检查 $\{1\}$ 是否线性无关。假设存在 $c \in \mathbb{C}$ 使得 $c \cdot 1 = 0$。由于 $c \cdot 1 = c$，所以 $c = 0$。因此，$\{1\}$ 线性无关。
公式：$c \cdot 1 = 0 \Rightarrow c = 0$
提示：线性无关的定义：若标量 $c$ 使得 $c \cdot 1 = 0$，则 $c$ 必须为0。
步骤 4/5
目标：确定基与维数
由于 $\{1\}$ 是生成集且线性无关，所以它是 $\mathbb{C}$-向量空间 $\mathbb{C}$ 的一组基。基中只有一个元素，因此维数为1。
提示：维数等于基中向量的个数。
步骤 5/5
目标：总结答案
复数域作为它自身上的线性空间，维数为1。
提示：答案应填写数字1。
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