北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别问题类型
题目要求计算矩阵所有特征值的和。根据线性代数知识，矩阵的特征值之和等于矩阵的迹（即主对角线元素之和）。
公式：\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \operatorname{tr}(A)
提示：注意特征值之和与迹的关系仅适用于所有特征值（包括重根）按代数重数求和。
步骤 2/5
目标：写出给定矩阵
给定矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \]
提示：确保矩阵元素抄写正确，尤其是符号。
步骤 3/5
目标：计算矩阵的迹
矩阵的迹是主对角线上元素之和：
\[ \operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + 3 + 0 = 6 \]
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}
提示：只计算对角线元素，不要漏掉或误加非对角线元素。
步骤 4/5
目标：得出特征值之和
根据特征值之和等于迹，有：
\[ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = \operatorname{tr}(A) = 6 \]
公式：\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)
提示：无需计算具体特征值，直接利用性质即可。
步骤 5/5
目标：填写答案
因此，空白处应填 6。
提示：答案是一个数值，注意书写规范。
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