北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 与 $B$ 分别是 $3 \times 2$ 与 $2 \times 3$ 矩阵，且满足 $A B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $R(A)=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵维度与秩的上界
已知 $A$ 是 $3 \times 2$ 矩阵，$B$ 是 $2 \times 3$ 矩阵。根据秩的定义，$R(A) \leq \min(3,2)=2$，$R(B) \leq \min(2,3)=2$。
公式：$R(A) \leq \min(m,n)$
提示：注意矩阵的秩不超过其行数和列数中的较小者。
步骤 2/6
目标：利用秩不等式建立关系
对于矩阵乘积 $AB$，有 $R(AB) \leq \min(R(A), R(B))$。因此 $R(AB) \leq R(A) \leq 2$。
公式：$R(AB) \leq \min(R(A), R(B))$
提示：乘积的秩不超过每个因子的秩。
步骤 3/6
目标：计算矩阵 $AB$ 的行列式
计算 $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ 的行列式：
$\det(AB) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 2) + 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 0$。
公式：行列式展开公式
提示：计算行列式时注意符号和代数余子式的正确性。
步骤 4/6
目标：判断 $AB$ 的秩小于3
由于 $\det(AB)=0$，$AB$ 不是满秩矩阵，故 $R(AB) < 3$。
公式：方阵满秩当且仅当行列式非零
提示：行列式为零是秩不足的必要条件。
步骤 5/6
目标：计算 $AB$ 的秩
检查 $AB$ 的前两行：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\end{pmatrix}$ 线性无关（因为 $\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=1 \neq 0$）。第三行 $\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix} - 1 \times \begin{pmatrix}0 & 1 & 2\end{pmatrix}$，故第三行可由前两行线性表示。因此 $R(AB)=2$。
公式：秩等于行向量组的极大线性无关组所含向量个数
提示：验证线性相关性时，可以构造线性组合或计算子式。
步骤 6/6
目标：结合不等式确定 $R(A)$
由 $R(AB)=2$ 和 $R(AB) \leq R(A) \leq 2$，得到 $2 \leq R(A) \leq 2$，故 $R(A)=2$。
公式：不等式夹逼
提示：注意等号成立的条件。
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