北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 为 2 阶方阵，满足 $|A-E|=0,|A+2 E|=0$ ，则 $\left|A^{*}+E\right|=($ （6）
（A） 0
（B） 2
（C）-2
（D） 1
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定矩阵A的特征值
由已知条件 $|A-E|=0$ 和 $|A+2E|=0$ 可知，$1$ 和 $-2$ 是矩阵 $A$ 的特征值。因为 $|A-\lambda E|=0$ 的解即为特征值。
公式：$|A-\lambda E|=0$
提示：注意特征值的定义：$|A-\lambda E|=0$ 的根是特征值。
步骤 2/8
目标：计算矩阵A的行列式
由于 $A$ 是2阶方阵，且特征值为 $1$ 和 $-2$，则 $|A| = 1 \times (-2) = -2$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$
提示：行列式等于所有特征值的乘积，注意符号。
步骤 3/8
目标：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系
因为 $|A| = -2 \neq 0$，所以 $A$ 可逆。伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A^* = |A| A^{-1} = -2 A^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系仅当矩阵可逆时成立。
步骤 4/8
目标：表达目标矩阵
将 $A^*+E$ 用 $A^{-1}$ 表示：$A^*+E = -2A^{-1} + E$。
提示：注意单位矩阵 $E$ 的加法。
步骤 5/8
目标：推导特征值变换
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $\lambda^{-1}$，进而 $-2A^{-1}+E$ 的特征值为 $-2\lambda^{-1}+1$。
公式：若 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，则 $A^{-1}\mathbf{x}=\lambda^{-1}\mathbf{x}$，且 $(cA+dE)\mathbf{x}=(c\lambda+d)\mathbf{x}$
提示：注意特征值变换的线性性质，且 $A^{-1}$ 的特征值需 $\lambda \neq 0$。
步骤 6/8
目标：计算目标矩阵的特征值
代入 $\lambda=1$ 得 $-2\times 1^{-1}+1 = -2+1 = -1$；代入 $\lambda=-2$ 得 $-2\times (-2)^{-1}+1 = -2\times(-\frac{1}{2})+1 = 1+1 = 2$。所以 $A^*+E$ 的特征值为 $-1$ 和 $2$。
提示：计算时注意分数和符号。
步骤 7/8
目标：计算目标矩阵的行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积，故 $|A^*+E| = (-1) \times 2 = -2$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^{n} \mu_i$，其中 $\mu_i$ 是 $B$ 的特征值
提示：行列式是特征值的乘积，注意顺序无关。
步骤 8/8
目标：选择答案
计算得到 $|A^*+E| = -2$，对应选项 (C)。
提示：确认选项符号。
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